2016-2017学年北师大版高中数学选修1-2（课件+检测）3.3综合法与分析法 （6份打包）

3.2　分析法 1．了解分析法的思维过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学问题．(难点) [基础·初探] 教材整理　分析法 阅读教材P61～P63，完成下列问题． 1．分析法的定义 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法． 2．分析法证明的思维过程 用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图3­3­6表示为： →…→→→ 图3­3­6 3．综合法和分析法的综合应用 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．(　　) (2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　) 【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程． (2)错误．分析法和综合法各有优缺点． (3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ [小组合作型] 应用分析法证明不等式 　已知a>b>0，求证：. <－< 【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件． 【自主解答】　要证－< <， 只需证. << ∵a>b>0， ∴同时除以， <1<，得 同时开方，得， <1< 只需证， >2＋，且<2＋ 即证，即证b<a. < ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即. <－< 1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式． 2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误． [再练一题] 1．(2016·合肥高二检测)已知a>0，求证：－2. ≥a＋－ 【证明】　要证－2， ≥a＋－ 只需证， ＋＋2≥a＋ 即证2， 2≥ 即a2＋＋4， ＋2 ＋4≥a2＋＋4 只需证2. ≥ 只需证4， ≥2 即a2＋≥2. 上述不等式显然成立，故原不等式成立． 用分析法证明其他问题 　(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切． 【精彩点拨】　 【自主解答】　如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)． 根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切． 1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法． 2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等． [再练一题] 2．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． 【证明】　要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证＝3， ＝3，只需证 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)