2016-2017学年北师大版高中数学选修1-2（课件+检测）3.4反证法 （3份打包）

学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　) A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角 【解析】　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C. 【答案】　C 2．下列命题错误的是(　　) A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数 【解析】　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误． 【答案】　D 3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】　D 4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，则a，b，c三个数(　　) 【导学号：67720021】 ，c＝z＋，b＝y＋ A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 【解析】　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，① 而a＋b＋c＝x＋≥6，②＋z＋＋y＋ 显然①②矛盾，所以C正确． 【答案】　C 5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为(　　) A．①②③　　　　　 B．①③② C．②③① D．③①② 【解析】　根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论． 【答案】　D 二、填空题 6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________． 【解析】　“至少有一个”的否定是“没有一个”． 【答案】　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形 7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么”时，假设的内容应是________． > 【解析】　”．≤”的反设应为“>，所以“<和＝，>的关系有三种情况：与 【答案】　≤ 8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2. 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)． 【解析】　若a＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出． ，b＝ 若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出． 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1. 反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1. 【答案】　③ 三、解答题 9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1. 【证明】　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3. 而与a＋b＋c＝2x2－2x＋2＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1. ＋3＝2 10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： 不成等差数列． ， ， 【证明】　假设＝ ＋成等差数列，则， ， 2＝4b. ，两边同时平方得a＋c＋2 把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾． 所以不成等差数列． ， ， [能力提升] 1．有以下结论： ①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2； ②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是(　　) A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 【解析】　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的． 【答案】　D 2．已知命题“