3.4反证法-2020春高中数学北师大版选修1-2课件+习题 (2份打包)

§4　反证法 课后训练案巩固提升 一、A组 1.用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是(　　) A.假设a,b,c都小于0 B.假设a,b,c都大于0 C.假设a,b,c都不大于0 D.假设a,b,c中至多有一个大于0 解析:“至少有一个”的反面是“一个也没有”,故“a,b,c中至少有一个大于0”的反面是“a,b,c都不大于0”. 答案:C 2.“已知:在△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤: (1)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾; (2)所以∠B<90°; (3)假设∠B≥90°; (4)由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是(　　) A.(1)(2)(3)(4) B.(4)(3)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(3)(4)(2)(1) 解析:根据反证法证题的步骤可知选C. 答案:C 3.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以作为条件使用的是(　　) ①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论. A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 解析:考查反证法的基本思想. 答案:C 4.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,则这个三角形的形状是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 解析:分△ABC的直线只能过一个顶点,且与对边相交,如直线AD(点D在BC上),则∠ADB+∠ADC=π.若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意. 答案:B 5.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”,其“假设”为　　　　　　　　.  解析:“a,b全为0”即“a=0,且b=0”,因此它的反面应为“a≠0或b≠0”,即a,b不全为0. 答案:a,b不全为0 6.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”,其中正确的叙述有　　　　　(填序号即可).  解析:①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角. 答案:② 7.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1为　　　　　三角形,△A2B2C2为　　　　　三角形(填“锐角”或“钝角”).  解析:由△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,可知△A1B1C1为锐角三角形.则由题意,知△A2B2C2为锐角三角形或钝角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,由 ∴A2+B2+C2=与A2+B2+C2=π矛盾. ∴△A2B2C2是钝角三角形. 答案:锐角　钝角 8.导学号18334036证明对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l 与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称. 证明:假设存在实数k,使得点A,B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A,B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点在直线y=ax上. 所以 由②③,得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2. ④ 由得(3-k2)x2-2kx-2=0, 因此x1+x2=,将其代入④,得ak=3. 这与①矛盾,所以假设不成立.因此不存在实数k,使得点A,B关于直线y=ax对称. 二、B组 1.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法证明a>0,b>0,c>0时的“假设”为(　　) A.a<0,b<0,c<0 B.a≤0,b>0,c>0 C.a,b,c不全是正数 D.abc<0 解析:“a>0,b>0,c>0”即“a,b,c都是正数”,因此其否定应为“a,b,c不全是正数”. 答案:C 2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的“假设”为　　　　　　　　　　　　　　　　.  解析:反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP 3.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条