学科研究系列丛书•高中数学试题研究：4. 一道 2014年高考文科数学试题的探源与探究

一、引言 一道好的高考题总会留下很大的拓展空间，让你产生无尽的遐想，细细品来，令人回味无穷，2014年高考数学全国新课标（Ⅱ）卷文科第17题就是这样的好题: 四边形 的内角 与 互补， ， , . (I)求 和 ; (II)求四边形 的面积. 与2010-2013年全国高考新课标卷中的所有解三角形试题相比较，这道题以对角互补的四边形为载体，题目简明，内容新颖，考查了余弦定理，诱导公式以及三角形的面积公式，也考查了运算求解能力和化归思想. 笔者就此题的源头和解法等方面进行了探究和推广，现介绍如下，以供参考. 2、 源头探究 “问题那得清如许，为有源头活水来” .以下对这道题探源，揭开这道题的“庐山真面目”. 1. 源头1 从源头上来看这道高考题，本题改编自课本人教 版必修5第一章解三角形1.2应用举例第18页练习第2题：一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长分别是 ，两个内角是 和 ，求四边形的面积(精确到 ) 真是“众里寻它千百度，那题却在课本习题处”,也体现了“高考题出于课本，高于课本”. 2. 源头2 由于四边形 的内角 与 互补，根据圆内接四边形的判定定理，对角互补的四边形 的4个顶点共圆.在历年高考真题中，也有该高考题的“影子”：(2001年全国高考数学文科第19题) 已知圆内接四边形 的边长分别为 ，求四边形 的面积. 通过探源，我们发现这道题既可以看成改编自课本，也可看成改编自历年高考真题.从深层次上来说，这道题以圆的内接四边形为背景. 三、解法探究 笔者另辟蹊径，给出该题的三种另解如下. 另解一： 所以 , , , , 在 中，由余弦定理得 ,又 , 所以 ， , , 在 中，由余弦定理得 , 解得 . (II) . 另解二： (I)在 上取 ，连结 , , 由于四边形 的内角 与 互补，根据圆内接四边形的判定定理， 对角互补的四边形 的4个顶点共圆，由于 ，所以 ， 故 ，所以 , 所以 为正三角形, 所以 ,所以 , 在 中，由余弦定理得 EMBED Equation.3 ， 所以 (II)所以 以下给出第(II)问令人“耳目一新”的解法三. 由于四边形 的内角 与 互补，根据圆内接四边形的判定定理， 对角互补的四边形 的4个顶点共圆，由托勒密定理有 (2) 由两点间距离公式得： (3) 联立(2)、(3)得 ，变形得