第5章 微突破 平面向量与三角形的“四心”(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量与三角形“四心”专题，将重心、内心、垂心、外心的定义、几何性质及向量表示整合为知识网络，通过例题解析和问题链设计，引导学生从向量运算与三角形性质出发自主推导“四心”判定规律，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性训练与逻辑推理能力培养，如设置4道强化训练题覆盖“四心”判定与计算，学生可通过例题解析自主纠错，培养数学思维与数学语言表达素养。每个“四心”模块配有性质梳理表和例题归因分析，帮助学生建立个性化知识体系，教师可通过学情反馈精准指导，支持因材施教。

微突破　平面向量与三角形的“四心” 　　在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识整合，将三角形与向量紧密的联系在一起，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 平面向量与三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点. 2.几何性质：若点G是△ABC的重心，则有＋＋＝0或＝（＋＋）（其中P为平面内任意一点）. （2026·江西抚州期中）已知△ABC的重心为O，若｜＋｜＝｜－｜，且｜｜＝3｜｜＝3，则｜｜＝（　　） A.2 B. C.3 D.2 听课记录 平面向量与三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 2.几何性质：若H是△ABC的垂心，则·＝·＝·； ＋＝＋＝＋. （2026·陕西西安模拟预测）在△ABC中，若·＝·＝·，则下列说法正确的是（　　） A.O是△ABC的外心 B.O是△ABC的内心 C.O是△ABC的重心 D.O是△ABC的垂心 听课记录 平面向量与三角形的内心 1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心. 2.几何性质：若点I是△ABC的内心，则有｜｜·＋｜｜·＋｜｜·＝0. 设I为△ABC的内心，且2＋3＋＝0，则角C为（　　） A. B. C. D. 听课记录 平面向量与三角形的外心 1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等. 2.几何性质：若点O是△ABC的外心，则｜｜＝｜｜＝｜｜或（＋）·＝（＋）·＝（＋）·＝0. 在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·＝　　　，·＝　　　　. 听课记录 1.（2026·辽宁葫芦岛期末）已知O是△ABC所在平面上一点，若＝＝，则O是△ABC的（　　） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 2.（2026·山东聊城月考）O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足＝＋λ（＋），λ＞0，则直线AP一定通过△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3.已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则（＋）·（＋）＝（　　） A.－2　 　B.－1 C.1　 　　D.2 4.如图所示，在△ABC中，G为重心，PQ过点G，＝m，＝n，则＋＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 答案 微突破　平面向量与三角形的“四心” 【例1】　B　因为｜＋｜＝｜－｜，故·＝0.而＋＋＝0，故＝－（＋），则｜｜＝ ＝＝.故选B. 【例2】　D　∵·＝·，∴·（－）＝0，∴·＝0，∴OB⊥CA，同理由·＝·，得到OA⊥BC，∴点O是△ABC的三条高的交点.故选D. 【例3】　B　∵I为△ABC的内心，∴a＋b＋c＝0，∴a∶b∶c＝2∶3∶，设c＝k，b＝3k，a＝2k，k＞0，则cos C＝＝，又C∈（0，π），所以C＝.故选B. 【例4】　8　10　解析：由题意得O为△ABC的外心，故·＝＝8.如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则·＝（＋）·（－）＝（＋）·（－）＋·（－）＝（｜｜2－｜｜2）＝10. 强化训练 1.B　因为＝＝，则｜｜＝｜｜＝｜｜，所以O是△ABC的外心.故选B. 2.C　如图，取线段BC的中点E，则＋＝2.动点P满足＝＋λ（＋），λ＞0，则－＝2λ，则＝2λ，则直线AP一定通过△ABC的重心.故选C. 3.B　设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，所以 ，，两两夹角为120°，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝××＝.所以（＋）·（＋）＝＋·＋·＋·＝2－2×－2×－2×＝－1. 4.C　设＝a，＝b，根据题意，＝＝（ ＋）＝a＋b.因为＝m，＝n，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得＝λ，即－＝λ（－），即nb－ma＝λ（ a＋b－ma）＝（ －mλ）a＋，所以整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $