学科研究系列丛书•高中数学试题研究：3. 一道2015年陕西卷高考试题解法的探究

罗文军（甘肃省秦安县第二中学，741600） （2015年高考陕西卷理科，24）已知关于 的不等式 的解集为 . （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）求 的最大值. 这道高考试题第（Ⅰ）问考查了绝对值不等式的解法.第（Ⅱ）问考查了形如 的无理式求最值问题，这类试题近年来备受命题专家的亲睐，笔者对第（Ⅱ）问的解法进行了探究，得到了8种解法，现介绍如下，以供参考. 解：（Ⅰ）由 得， ， 则 ，解得 . （Ⅱ） 点评：利用不等式解最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，无理式 是两部分式子的和，先化为 的形式，再利用柯西不等式求其最大值. 解法2：令 ， ， 所以 ， 令 ，解得 ， 因为 ， ， ， 所以 ， 所以 的最大值为4. 点评：本解法根据闭区间上的函数有最大值和最小值，先利用导数求出极值，再把极值和区间端点处的函数值比较，得出最大值. 点评：本解法利用了三角换元法.对于形如 的式子，先求出 ，然后令 ， ，再利用辅助角公式解题. 解法4：令 ， ， 构造平面向量 ， ， 则 ， ， 因为 ， 当且仅当 与 同向时取等号， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ， 所以 的最大值为4. 点评：本解法利用了向量法.构造向量后利用向量性质 求解. 点评：本解法利用了构造对偶式法.对于形如 的无理式子求最值问题，我们可以通过构造 作为它的对偶式，简化运算，巧解此类问题. 解法6：令 ， ， 设 ， ， 故 ， ， 所以目标直线 与圆 在第一象限的图形相切时取得最大值， 由 ，得 即为所求的最大值， 所以 的最大值为4. 点评：通过观察 是圆的标准方程，令 ， ，则有 ， ，于是问题变成直线与圆相切时取最值. 解法7：令 ， ， 令 ， ，则 ， 易知1个 和3个 的平均数为 ， 方差为 ，所以 ，即 ， 当且仅当 时，即 时， 有最大值4， 所以 的最大值为4. 点评：本解法通过构造方差，利用方差的性质 求解，解题的关键在于构造出 的值为常数. 点评：本解法通过构造概率分布列，根据离散型随机变量的方差的性质 ，当且仅当 服从退化分布时等号成立，通过构造使 的值为常数. 4 $$