学科研究系列丛书•高中数学试题研究：2. 2015年高考重庆卷文科第14题的解法探究

高考真题凝结了命题专家的心血和智慧，每年高考落下帷幕，都有大量好题涌现出来，这些好题给人留下很大的拓展空间，细细品来，令人回味无穷，2015年高考重庆卷文科第14题就是这样的好题. 2015年重庆卷文科第14题：设 ， ，则 的最大值为_______ 评析：根据不等式 求解，取等的条件是“ ”. 解法2 根据柯西不等式， ， 当且仅当 ，即 ， 时， 取最大值 . 评析：根据二维柯西不等式， ，当且仅当 时等号成立. 解法3 取 ， ， ， , 根据 得， ， 当 与 平行， 即当且仅当 ，即 ， 时， 取最大值 . 评析：构造向量，根据向量数量积的性质求解. 解法4 设 ， ， 则得圆 （ ， ）， 令 ， 直线 与圆 （ ， ）有公共点， 所以 ，所以 ， 当直线 与圆 （ ， ）相切时， ， 所以 的最大值为 . 评析：通过换元，构造圆，利用圆与直线有公共点解题，本解法需要方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静. 评析：构造权方和，根据权方和不等式：设 ......， EMBED Equation.3 , ......， EMBED Equation.3 ,若 ，则 ，当且仅当 时取“ ”号.求解. 解法6 因为 ， ，所以 ，所以 ， ， 构造函数 ，（ ）， 所以 ， 令 ，得 ， 因为 ， 所以当且仅当 ， 时， 取最大值 . 评析：转化成含有一个变量的式子，然后构造函数，求出极值点，由于开区间，极大值就是最大值. 又因为 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 取最大值 . 评析：先化为形如 的式子，再构造 作为其对偶式，再求解. 本题立足基础，注重思维，上述各种解法，灵活运用了不等式、向量、圆与函数等相关的基础知识，沟通多块知识之间的联系.学生数学能力的提高离不开解题，解题是培养学生各种能力的载体和重要手段，在平时的教学中要注重一题多解，拓宽学生的学习视野和提升学生的综合思维能力. 2 $$