学科研究系列丛书•高中数学试题研究：1. 2015年全国高考新课标Ⅱ卷理科第20题的新解与拓展

2015年高考已经落下帷幕，全国数学高考新课标Ⅱ卷理科总体上保持了近几年来的命题风格和试题特色，笔者特别关注了第20题是一道圆锥曲线的定值问题，该题较全面地考查了学生掌握基础知识与基本方法的程度，入手容易，但是要想完整解法，需要考生具备扎实的基础知识和较强的分析解决问题的能力，梯度性较强.笔者对此题进行了探究和推广，现介绍如下，以飨读者. 一、真题再现： 2015年全国高考新课标Ⅱ卷理科第20题： 已知椭圆C： ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 . （1）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （2）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由. 二、解法探究 以下给出第（1）问的四种新解和第（2）问的一种新解. (1)新解1：设 ， ， , 因为直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 所以 ， 直线 斜率为 ， 把点 ， 分别代入椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的方程得, , , 两式相减可得， ， 直线 的斜率为 ， 所以 ， 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值. 评析：点差法是解决椭圆的中点弦问题的一种常用方法，本解法达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程 新解2：设 ， ， , 整理得， ， 因为 为线段 中点， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 , 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值. 评析：本题利用直线的参数方程，将参数方程代入椭圆方程得到一个关于 的一元二次方程，再根据参数的几何意义 化简. 新解3： 设 ， ， , 由题设可知 且 且 且 ， 由题设可知直线 的斜率存在且不为0， 设直线 方程为: , 可化为 ， 令 ， ， 则椭圆 变为圆 ， 直线 方程为: 变为 ， 点 变为 ， 弦 变为弦 ,因为 为圆 的弦 的中点， 所以 ,又 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值. 评析：本解法利用伸缩变换，将椭圆的中点弦问题化为圆中弦的问题. 新解4：设 点坐标为 ，设 点坐标为 ， 于是直线 的斜率 ，又直线 的斜率为 ， 所以 ， 所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值. 评析：本解法利用了交轨法的思想. （2）新解：四边形 能为平行四边形.