第5章 第4节 平面向量的综合问题(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量综合问题，涵盖实际应用、几何应用及最值问题三大核心考点，以向量“数”“形”双重身份为纽带构建知识网络，通过真题例题引导和任务驱动式练习，帮助学生自主梳理考点逻辑，形成层次分明的知识体系。 亮点在于自主诊断与方法内化设计，如每个模块配备真题示例（2025全国Ⅰ卷帆船问题）和分层练习题（练1-3），培养学生用数学眼光分析实际情境、用数学思维解决几何与最值问题的素养。附听课记录提炼解题步骤，助力学生自主总结方法，教师可通过练习反馈精准指导，提升复习实效。

第4节　平面向量的综合问题 　　重点解读平面向量的综合问题，一般涉及平面向量的实际应用，平面向量在几何中的应用及与平面向量有关的最值（范围）问题，尤其是最值（范围）问题，既是高考的热点，也是难点，其解题思路为： 1.将实际几何问题转化为向量表示，再利用向量的运算法等还原到要解决的问题上去得出结论. 2.与向量有关的最值（范围）问题，一般将待求量（模长、夹角、数量积、参数等）表示成某一变量的目标函数再求最值，同时要注意向量“数”与“形”的双重身份，解题时重视数形结合思想. 　　 平面向量的实际应用 （2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（　　） 级数 名称 风速大小（单位：m/s） 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 A.轻风　　B.微风 C.和风　　D.劲风 听课记录 用向量方法解决实际问题的步骤 练1 一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为60 m/s，则鹰的飞行速率为（　　） A.20 m/s B.40 m/s C.60 m/s D.30 m/s 平面向量在几何中的应用 （1）已知，是非零向量且满足（－2）⊥，（－2）⊥，则△ABC的形状为（　　） A.等腰（非直角）三角形 B.等边三角形 C.直角（非等腰）三角形 D.等腰直角三角形 （2）如图所示，已知AC为☉O的一条直径，∠ABC为圆周角，则∠ABC＝　　　　. 听课记录 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 练2 （1）（2026·内蒙古包头模拟）在△ABC中，D为BC边上的中点，且｜｜＝1，｜｜＝2，∠BAC＝120°，则｜｜＝（　　） A. B. C. D. （2）已知△ABC中，AD为中线，求证：AD2＝（AB2＋AC2）－（）2. 与平面向量有关的最值（范围）问题 （1）已知单位向量a，b的夹角为θ，若｜a＋b｜＞1，则θ的取值范围为（　　） A.［0，） B.［0，） C.（ ，） D.（ ，π） （2）在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任意一点，若＝m＋n（m＞0，n＞0），则＋的最小值是（　　） A.4　 　　B.8 C.12　 　　D.16 听课记录 向量求最值（范围）的常用方法 （1）利用三角函数求最值（范围）； （2）利用基本不等式求最值（范围）； （3）建立坐标系，设变量构造函数求最值（范围）； （4）数形结合，应用图形的几何性质求最值（范围）. 练3 （1）平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则cos＜b，3b－a＞的最小值是　　　　； （2）〔一题多解〕已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不含边界），试求·的取值范围. 提示：完成课后作业　第五章　第4节 答案 第4节　平面向量的综合问题 提能点一 【例1】　A　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈（1.6，3.3）.故选A. 练1　B　如图，＝V1表示鹰在地面上的影子的速度，＝V2表示鹰的飞行速度，由题意知，｜｜＝｜V1｜＝60 m/s，且A＝30°，所以｜｜＝｜V2｜＝＝40 m/s.故选B. 提能点二 【例2】　（1）B　（2）90°　解析：（1）∵，是非零向量且满足（－2）⊥，（－2）⊥，∴（－2）·＝0，（－2）·＝0，即＝2·，＝2·，∴｜｜2＝｜｜2＝2｜｜｜｜·cos∠BAC，∴｜｜＝｜｜，且cos∠BAC＝，又0°≤∠BAC≤180°，则∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.故选B. （2）设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a，＝－＝a－b，｜a｜＝｜b｜，∴·＝（a＋b）（a－b）＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2＝0，∴⊥，∴∠ABC＝90°. 练2　（1）A　D为BC边上的中点，＝（＋），｜｜＝｜（＋）｜＝ ＝ ＝＝.故选A. （2）证明：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示， 设A（a，b），C（c，0），D（，0），则｜｜2＝（－a）2＋（0－b）2＝－ac＋a2＋b2，（｜｜2＋｜｜2）－（）2＝[a2＋b2＋（c－a）2＋b2]－＝a2＋b2－ac＋，从而｜｜2＝（｜｜2＋｜｜2）－（）2，即AD2＝（AB2＋AC2）－（）2. 提能点三 【例3】　（1）B　（2）C　解析：（1）因为向量a，b为单位向量，且｜a＋b｜＞1，所以｜a＋b｜2＞1，即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＞1，化简得cos θ＞－，因为向量a，b的夹角θ∈[0，π]，所以θ∈［0，）.故选B. （2）因为＝3，P为BE上任意一点，＝m＋n＝m＋3n，因为P，B，E三点共线，所以m＋3n＝1，m＞0，n＞0，则＋＝（ ＋）（m＋3n）＝6＋＋≥6＋2＝12， 当且仅当＝且m＋3n＝1，即m＝，n＝时取等号，此时＋的最小值是12.故选C. 练3　（1）　解析：由｜a－3b｜＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因为｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝，所以cos＜b，3b－a＞＝＝＝＝＝（ 8｜b｜＋）≥×2＝，当且仅当｜b｜＝时取等号，所以cos＜b，3b－a＞的最小值是. （2）解：法一　·＝｜｜｜｜cos∠PAB＝2｜｜·cos∠PAB， 又｜｜cos∠PAB 表示 在 方向上的投影数量，当P与C重合时投影数量最大，当P与F重合时投影数量最小. 又因为·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，｜｜cos＜，＞＝＝3，｜｜cos＜，＞＝＝－1， 故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈（－2，6） . 法二　以A 为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设点P（x，y），则＝（x，y），＝（2，0），·＝（x，y）·（2，0）＝2x， 易知x∈（－1，3），所以·∈（－2，6）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $