学科研究系列丛书•高中数学试题研究：5. 盘点2015年高考题中的部分数列求和问题

罗文军（甘肃省秦安县第二中学，741600） 2015年高考试题中的数列求和问题，主要有裂项相消法，错位相减法，分组求和法等三类. 类型一 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，裂项相消法的两个常见形式：（1） ，其中 是以 为公差的等差数列； （2） . 以下来看两道利用裂项相消法求和的2015年高考真题. 例1（2015年新课标卷理科，17） 为数列 的前 项和.已知 ， = . （Ⅰ）求 的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列}的前 项和 分析：（Ⅰ）先用数列第 项与前 项和的关系求出数列{ }的递推公式，可以判断数列{ }是等差数列，利用等差数列的通项公式写出数列{ }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）写出数列{ }的通项公式，再用裂项相消法求其前 项和. 解析：（Ⅰ）当 时， ，因为 ，所以 =3， 当 时， = = ，即 ，因为 ，所以 = ， 所以数列{ }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以 = ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ， 所以数列{ }前n项和为 = = . 例2(江苏卷，11)数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项和为____ 分析：先利用累加法求出数列 的通项公式，再利用裂项相消法求出数列 的前10项和. 类型二 错位相减法 一般地，如果数列 是等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列 的前 项和时，常用该法.其关键是先在等式 的两边同乘以等比数列 的公比 ，得 ，再由 消去相同的项或合并同类项，得到一个可以求和的新数列，最后化简得 .利用错位相减法两式相减后，一定成等比数列的有 项，整个式子共有 项. 以下来看利用错位相减法求和的三道2015年高考真题. 例3（2015年天津卷文科，18）已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 , . （I）求 和 的通项公式； （II）设 ， ,求数列 的前n项和. 分析：（I）列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项；（II）用错位相减法求和. 解析：（I）设 的公比为q, 的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以 的通项公式为 , 的通项公式为 . （II）由（I）有 ,设 的前n项和为 ,则 两式相减得 所以 . 例4(2015湖北文科，19) 设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的