学科研究系列丛书•高中数学试题研究：6. 海潮退却，贝壳晶莹——对2014年高考陕西卷理科第16题的探究

每年高考过后，都会留下一些耐人寻味的题目，这些题目往往是我们探究问题的好素材.先看2014年高考陕西卷理科第16题： 的内角 所对的边分别为 . （I）若 成等差数列，证明： ； （II）若 成等比数列，求 的最小值. 做完这道高考题似乎有意犹未尽的感觉，三边成等差数列和三边成等比数列的三角形还有哪些性质呢？笔者就此问题展开探究，得到了一些优美性质，现介绍如下，以供参考. 一、三边成等差数列的三角形的性质 的内角 所对的边分别为 ，若 成等差数列，其中 为 的半周长， 为 的外接圆半径，则有： 性质1 证明：由已知得 ， 由正弦定理得 , 由诱导公式得 , 由两角和的正弦公式得 , 左右两边同时除以 整理得 . 性质2 证明：由已知得 ， 由正弦定理得 , 由诱导公式得 , 由和差化积公式得 , 所以 ， , . 性质3 . 证明：由性质2证明过程 得， ， , ，所以 . 性质4 证明：由已知得 ， 由正弦定理得 , 因为 ， 所以由正弦定理得 , . 2、 三边成等比数列的三角形的性质 的内角 所对的边分别为 ，若 成等比数列， 为 的外接圆半径，则 具有以下性质: 性质1 . 证明：由已知得 ， 由正弦定理得 , 又 ,所以 , 所以 , 所以 , 两边同时除以 得， , 所以 , 所以 . 性质2 . 证明：由已知得 ， 由正弦定理得 , . 性质3 . 证明：由已知得 ， 由正弦定理得 , 又 ,所以 , 所以 , 所以 , 所以 . 性质4 . 证明：在 中， ， EMBED Equation.3 , 由已知得， . 性质5 . 证明：在 中，有不等式 , 由已知得由已知得 ， 由正弦定理得 , 所以 , 所以 . 我们看到，有些高考试题虽然简单，但其有很大的拓展空间，这些好题犹如海潮退却后留在沙滩上的贝壳，晶莹剔透，值得我们去细细的玩味. 2 $$