学科研究系列丛书•高中数学试题研究：1. 一道预赛题解法的探究

——例谈“小题大做” 一、引言 在平时的学习中，如果遇到填空题等小题时，调动所学知识，认真审视小题，精彩解法就会像雨后春笋一样涌现出来。本文把2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷填空题第8题“小题大做”，在不同视角下给出这道题的多种解法，以飨读者。 二、题目 实数 满足 ，则 的最大值为______________(本题的答案为 ) 三、多种解法的探究 1. 不等式的视角 解法一 所以 评析 本解法利用了柯西不等式 和基本不等式 2. 向量的视角 解法二 记 评析 构造向量 ， ，利用向量不等式 1. 直线与圆有公共点的视角 解法三 故 ，即 ， 即 有解，所以 ， 解得 ，即 的最大值为 评析 本解法需要有方程思想，数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静，根据方程组有解则直线与圆有公共点，从而由直线到圆心的距离不大于半径列不等式，进而使问题得以解决。 四、解后反思 在平时的教学中，我们不妨尝试“小题大做”，探索小题的多种解法，找出多种解法就是沟通了多个联系，“一题多解”的过程就是深入理解数学的过程，同时“小题大做”也是课堂对竞赛题的有效利用。 2 $$