学科研究系列丛书•高中数学试题研究：2. 从一道联赛题谈边的平方成等差数列的三角形的性质

（2014年全国高中数学联赛一试试题B卷第4题）如果三角形 的三个内角 的余切 依次成等差数列，则角 的最大值是________ 由正弦定理及余弦定理得， ，所以 ， 由余弦定理得 ， 所以当且仅当 时， 取最小值为 ，此时角 取最大值 . 这道题考查了正弦定理、余弦定理、等差数列和均值不等式.笔者对这道赛题进行了探究，得出了边的平方成等差数列的三角形的5个性质，现介绍如下，以供参考. 已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且 依次成等差数列，则 有以下性质. 性质1 依次成等差数列. 性质2 . 性质1和性质2由以上赛题的解答过程得出. 性质3 依次成等差数列. 证明：有已知得 ， 由正弦定理得 , 所以 , 所以 , 即 依次成等差数列. 性质4 . 证明：在 中， , 由性质3， ， 所以 . 性质5 . 证明：在 中， 所以 , 因为 ， 所以 ， 所以 2 $$