学科研究系列丛书•高中数学试题研究：3. 一道2015四川竞赛题解法的探究

各省的竞赛题凝结了命题专家的心血和智慧，如果对部分赛题进行认真审视，精彩解法就会雨后春笋般涌现出来，笔者对2015四川联合竞赛初赛第4题进行了探究，得到七种解法，现介绍如下，以飨读者. 一、题目（2015年全国高中数学联合竞赛四川初赛第4题）记函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为（） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 二、解法 点评：先利用导数求出 在闭区间 上的极值，再与端点处的函数值比较得出最大值和最小值. 解法2 函数 的定义域为 ，且 ， 由柯西不等式 ， 当且仅当 时，等号成立，即 时函数 取最大值 , 又因为 ， ， 所以函数 的最大值 ,最小值 ， . 点评：利用不等式解最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，函数 的解析式是两部分的和，先化为 的形式，再利用柯西不等式求其最大值. 点评：三角变化是解决根式问题的常用方法，对形如 的根式，先求出 ，然后三角换元，令 ， ，再利用辅助角公式解决问题. 解法4因为函数 的定义域为 ， 所以构造平面向量 ， ， 则 ， ， 所以 ， 因为 ，当且仅当 与 同向时取等号，所以 ， 当且仅当 ，即 时， 取最大值 , 又因为 ， ， 所以函数 最小值 ， . 点评：向量是高中数学的主干知识，本题构造向量，利用向量数量积的性质 解题. 点评：对于形如 的函数求值域问题，我们可以通过构造 作为它的对偶式，巧解该问题. 解法6 因为函数 的定义域为 ， 令 ， ，则 ， 已知一个 和3个 的平均数为 ，方差 ， 所以 ， ，当且仅当 ，即 时，函数 有最大值 , 又因为 ， ， 所以函数 的最小值 ， . 点评：该解法关键在于构造出 的值为常数，利用样本方差性质 求解. 解法7因为函数 的定义域为 ， 令 ， ，则 ， 构造随机变量 的概率分布列： ， ， 所以 ， ， 因为 , 故 ，即 ，即 ， 当且仅当 时，即 时， 有最大值 EMBED Equation.3 , 又因为 ， ， 所以函数 的最小值 ， . 点评：该解法关键在于巧妙利用离散型随机变量的性质 ，令人耳目一新. 三、评析 赛题也是高考试题的源头之一，以上运用一题多解，沟通了导数、不等式、向量、三角与方差等知识的联系，在平时的教学中，