学科研究系列丛书•高中数学试题研究：5. 用数学竞赛的方法解一道课本数列习题

—— 一道课本中数列习题的探究 引言： 在人教A版新课标教材必修《数学5》中第二章《数列》复习参考题B组第69页有这样一道题目： 已知数列 中， ， ， 对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？ 以下在不同的视角下，用数学竞赛的方法给出这道题目的三种解法，对根据数列的二阶线性递推公式求数列的通项公式，以期达到抛砖引玉的作用. 二、解法的探究 1、 待定系数的视角下 求形如 的数列的通项公式，通常用待定系数法设 所以 所以 解出 和 ，再构造等比数列求解 解法一 设 , 所以 , 又因为 , 则有 解得 或 , 所以 ， 或 ， 所以数列 是以 为首项，-1为公比的等比数列， 所以 , 所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列， 所以 , 由方程组 解得 . 2、 特征根的视角下 对于由递推公式 , , 给出的数列 ，方程 叫做数列 的特征方程，先由 求出特征根 , EMBED Equation.DSMT4 ，再设数列 的通项公式为 ,由于 , ，所以建立方程组 ，再解出 和 . 解法二 3、 母函数的视角下 母函数的定义：设 ,...是给定的数列，作出以它为系数的多项式 +...，把 称为该数列的母函数. 用母函数求数列 的通项公式的要点是：首先构造数列的母函数 ,接着根据递推关系式分别用 , 乘以母函数两端，并把这些式子两边分别相加并整理，得到关于 的分式方程，并利用幂级数的性质：若 变形得到数列的通项公式. 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 三、解后反思 随着新课改的春风，组合数学等高数内容走进了高中数学，特征根法和母函数法也随之进入高中数学竞赛.习题是数学教材内容的重要组成部分，学数学离不开做习题.如果尝试着在习题教学中贯穿适量的数学竞赛方法，既可以开拓学生的视野，又可以最大限度的发挥习题的最大功效，达到做会一道题而掌握做一类题的方法. 2 $$