学科研究系列丛书•高中数学试题研究：1. 课本中一道四点共圆习题解法的探究及应用

1.引言 在2011年全国高考数学试题中，出现了证明四点共圆的题，例如全国大纲卷理科第21题第2问，新课标卷第22题的第1问.“高考题出于课本而高于课本.” 高考数学试题肩负着对基本知识和基本技能的考查，而教材中的习题是教材内容的重要组成部分。教材中出现过证明四点共圆的题吗？出现过，人教版（A版）高中《数学2（必修）》习题4.1A组第6题： 平面直角坐标系中有 四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 下面以这道习题的解法为依托，结合证明四点共圆的方法，给出这道题的6种解法，然后应用这6种解法给出2011年高考数学全国大纲卷理科第21题的解法。现介绍如下，以供参考. 2.解法的探究 方法一 先选出三点求出一圆，然后证明另外一点也在这个圆上. 解法一 解这个方程组得 , 所以，所求圆的方程为 , 经验证，点 的坐标满足方程 因此点 在同一个圆上. 方法二 四点到某一定点的距离相等，从而确定它们共圆. 解法二 这四点能在同一个圆上. 线段 的垂直平分线 的方程为 ， 线段 的垂直平分线 的方程为 ， 与 的交点为 ， 线段 的垂直平分线 的方程为 ， 经验证点 在 上， 所以 ， 所以 在同一个圆上. 方法三 对于凸四边形ABCD，对角互补等价于四点共圆. 解法三 方法四 根据相交弦定理的逆定理，对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P, 等价于四点共圆. 解法四 这四点能在同一个圆上. 直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 直线 和 的交点为 ， ， ， ， ， , 根据相交弦定理的逆定理， 在同一个圆上. 方法五 托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD, 等价于四点共圆. 方法六 割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P, 等价于四点共圆. 解法六 这四点能在同一个圆上. 直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 线段 、 的延长线的交点为 ， ， ， ， ， ， 根据割线定理， 在同一个圆上. 3．解法在高考试题中的应用 2011年高考数学全国大纲卷理科第21题：已知 为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足 (Ⅰ)证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点的 对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 这道题主要考查了直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系及四点共圆