学科研究系列丛书•高中数学试题研究：2. 一道课本向量习题的探究及其应用

新课标人教A版数学必修4习题2.3B组第4题：如图，设 、 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标.假设 . (1) 计算 的大小； (2) 由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？ 笔者在教学之余，对该习题进行了探究，得出了更一般的坐标系中，向量数量积、向量的模、两点间距离公式以及两向量的夹角公式，并用这些公式解了5道2014年高考题，现介绍如下，以供参考. 设 、 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标. 在该坐标系下，设 ， . ， . 1、数量积 , , 所以 ， 所以 . 2、向量的模 因为 ， ， 所以 . 3、两点间距离公式 ， ， ， ， ， ， . 4、向量的夹角公式 设向量 与 的夹角为 ， 则 . 例1（2014年高考江苏卷第12题）如图，在平行四边形 中，已知 ， ， ， ，则 的值是. 解：设 ,如图建立坐标系， 则 , , EMBED Equation.3 , , 所以 , ， , , 所以 ，解得 ， 所以 . 例2（2014年天津卷理科第8题）已知菱形 的边长为2， ,点 分别在边 上， , ,若 , ，则 （） A. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 将(式整理得 ( 由((解得 . 例3（2014年天津卷文科第13题）已知菱形 的边长为2， ,点 分别在边 上， , ,若 ,则 的值为__ 例4（2014年江西卷文科第12题）已知单位向量 ， 的夹角为 ，且 ，若向量 ，则 ______ 解： 建立如图所示坐标系，则 ， . 例5（2014年江西卷理科第14题）已知单位向量 ， 的夹角为 ，且 ， 向量 与 的夹角为 ，则 解： 建立如图所示坐标系，则 ， ， = . 2 $$