学科研究系列丛书•高中数学试题研究：3. 一道课本不等式习题解法的探究

人教A版《数学选修4-5 不等式选讲》习题3.1第1题：求函数 的最大值. 以下笔者给出这道习题的八中解法，以期达到对求无理函数 的最值问题起抛砖引玉的作用. 解法一（柯西不等式法） 评注：利用柯西不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，由于 的解析式是两部分的和，化为 的形式，利用柯西不等式求最大值. 解法二（对偶法） 函数的定义域为 ，且 . 设 ， 在 上单调递减，则 ，故 ， 又因为 ， 所以 ， ， 故 ，又 ，所以 ， 所以，函数 的最大值为5. 评注：对于形如 的式子求最值，可以通过构造其对偶式 解答. 解法三（三角换元法） 令 ， ， 则 ，可设 ， ， 则 ，其中 ， 当 时， 取最大值5， 所以函数 的最大值为5. 评注：先换元，在三角换元后，利用辅助角公式解答. 解法四(导数法) 评注：问题转化为求函数 在闭区间 的最大值，求导数后，比较极值和区间两个端点处的函数值得出最大值. 解法五（向量法） 构造平面向量 ， ， 则 ， ， ， 因为 ， 当且仅当 与 同向时取等号， 所以 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以函数 的最大值为5. 评注：先构造向量，再利用向量的性质求解. 解法六（构造方差）因为 ， ， 令 ， ，则 ， 9个 和16个 的平均数为 ， 方差为 ，所以 ， 当且仅当 时，即 时，函数 的最大值为5. 评注：构造方差的过程中要保证 为常数，其中9为 前面系数3的平方，16为 前面系数4的平方。利用方差公式 求解. 解法七（构造概率分布列） 评注：解答过程中利用了离散型随机变量方差的性质 . 解法八（数形结合） 因为 ， ， 设 ， ， 故 ， ， 动点 的轨迹如图所示，所以目标直线 与圆 在第一象限的图形相切时取得最大值， 由 得 ， 所以函数 的最大值为5. 评注：数形结合，令人耳目一新. 以上在不同视角下，给出了这道不等式习题的八种解法，打破了画地为牢的做法，沟通了所学的导数、向量、三角函数、方差等知识之间的联系。 近年来高考题和联赛题注重在知识交汇处命题.学好高中数学，离不开解题，在平时的教学中，如果我们多角度思考问题，重视一题多解在教学中的渗透，调动所学知识，拓宽学生的视野，切实提高同学们的解题能力和思维能力，达到解一题，通一片，会一类，才能在面对高考题和赛题时达到解题方