学科研究系列丛书•高中数学试题研究：5. 一道课本函数习题的探究性学习

摘要：课本是高考命题的参照物和重要依据，以下对新课标数学必修1中的一道函数习题进行了探究. 关键词：双曲函数性质高考衔接优美不等式 课本是高考命题的参照物，是高考命题的重要依据.在平时的教学中，我们有必要引导学生对部分习题进行探究，以拓展学生的学习视野. 一、习题再现 新课标人教A版《数学必修1》第二章基本初等函数复习参考题B组第4题： 设 ， ，求证： （1） ； （2） ； （3） . 二、背景探究 由初等数学中的知识可知，上述习题中的函数 称为双曲正弦函数，通常记作 ，函数 称为双曲余弦函数，通常记作 ，证明的第（1）问是双曲函数的平方关系式： ，第（2）、（3）问是双曲函数的倍角公式： ， . 三、习题拓展 根据由特殊到一般的思想，将上述习题中函数解析式中的欧拉常数 换成大于0且不等式1的一个数 ，函数有怎样的性质呢？ 以下对函数 （ 且 ）和 （ 且 ）的性质进行研究. 1. （1） ; 证明： (2) ; 证明： , , 所以 . （3） . 证明： ， ， 所以 . 2.（1） 的定义域为 , ，所以 为奇函数. （2）因为 ， ， ， (当 时， ， ，所以 ， 所以 在 是增函数. (当 时， ， ，所以 ， 所以 在 是增函数. （3） ， (当 时， ，由 得 ， 由 得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，所以 最小值为1. (当 时， ，由 得 ， 由 得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 有最小值1. 四、高考衔接 以下2015年高考湖北卷文科第21题，以双曲函数为背景，可以看作源自以上课本习题. （2015年高考湖北卷，文科第21题）设函数 ， 的定义域均为 ,且 是奇函数， 是偶函数， ，其中 为自然对数的底数. （1）求 ， 的解析式，并证明：当 时， ， ； （2）设 ， ，证明：当 时， . 解：（1）由 ， 的奇偶性及 得： . 联立两式解得 ， . 当 时， ， ，故 . 又由基本不等式，有 ，即 . （2）由（1）得 ， . 当 时， ； . 不妨设函数 ， 则有 ， 当 时，需要分情况讨论： (若 ，得 ，故 在 上为增函数，从而 ， 即 ，故 成立. (若 ,得 ，故 在 上为减函数，从而 ，即 ，故 成立. 综合可得 . 从以上高考试题第（2）问我们可以得出双曲函数的一