【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五（课件+检测）:第二章 数列 （186份打包）

单元复习课 第二章 类型一:等差、等比数列的基本运算 【典例1】(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, an2-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3. (2)求{an}的通项公式. 【解析】(1)由a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0, 令n=1,得a12-(2a2-1)a1-2a2=0, 解得a2= , 令n=2,得a22-(2a3-1)a2-2a3=0, 解得a3= . (2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0 得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数, 所以 故{an}是首项为1,公比为 的等比数列,因此an= . 【规律总结】等差、等比数列基本量的计算方法 在等差(等比)数列的通项公式和前n项和公式中含有五个基本量,即a1,d(q),an,n,Sn.知道其中的三个,可以通过列方程(组)求其余两个,即“知三求二”.在解决等差(等比)数列问题中,往往是化为基本量的运算,有时也可灵活使用等差(等比)数列的性质解题. 【巩固训练】等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,已知S3=14,S6=126. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn. 【解题指南】(1)由S3=14,S6=126建立关于a1,q的方程组求出a1,q,再求an. (2)由b4,b16求b1和d,再由通项公式及前n项和公式求解. 【解析】(1)易知q≠1,由已知得 解得a1=q=2.所以an=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32,设{bn}的公差为 d,则有 解得 所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n. 且数列{bn}的前n项和Tn=nb1+ =2n+ ×2=n2+n. 类型二:等差数列、等比数列的判断 【典例2】(2015·广东高考)设数列{an}的前n项和为 Sn,n∈N*.已知a1=1,a2= ,a3= ,且当n≥2时,4Sn+2+ 5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值. (2)证明: 为等比数列. (3)求数列{an}的通项公式. 【解题指南】(1)令n=2可得a4的值.(2)先将4Sn+2+ 5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2)转化为4an+2+an=4an+1(n≥2),再利 用等比数列的定义可证 是等比数列.(3)先 由(2)可得数列 的通项公式,再将数列 的通项公式转化为数列 是等差数列,进而可得数 列{an}的通项公式. 【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1, 即 解得:a4= . (2)因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2), 所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2), 即4an+2+an=4an+1(n≥2), 因为4a3+a1=4× +1=6=4a2, 所以4an+2+an=4an+1, 因为 所以数列 是以a2- a1=1为首项,公比为 的 等比数列. (3)由(2)知:数列 是以a2- a1=1为首项,公 比为 的等比数列, 所以 即 所以数列 是以 =2为首项,公差为4的等差数列, 所以 =2+(n-1）×4=4n-2, 即 所以数列{an}的通项公式是an= 【延伸探究】本例条件不变,求数列{an}的前n项和Sn. 【解析】由典例的结果Sn=a1+a2+…+an ①-②得: 所以Sn= 【规律总结】 1.判断一个数列为等差数列的常见方法 (1)定义法:an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N*)等价于{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*)等价于{an}是等差数列. (3)通项公式法:an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)等价于{an}是等差数列. (4)前n项和法:Sn是An2+Bn的形式,等价于{an}是等差数列. 2.判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法: =q(q为常数且不为零,n∈N*)⇔{an}为等比数列. (2)等比中项法:an+12=anan+2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列. (3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列. 【巩固训练】 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1