【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五（课件+检测）:模块复习课+模块质量评估 （2份打包）

模块复习课 考点一:正、余弦定理解斜三角形 1.对于解三角形的考查,命题多利用正、余弦定理,三角形内角和定理来求边和角,其中以求边或角的取值范围为主,以解三角形与三角函数的结合为命题热点,难度中等. 2.解题时,要弄清三角形三边、三角中已知什么、求什么,分清题目条件与结论,并结合三角形的有关性质,如大边对大角,内角和定理等,注意数形结合,正确求解三角形,防止出现漏解或增根的情况. 【典例1】(2016·北京高二检测)已知a,b,c分别为 △ABC三个内角A,B,C的对边,c= asinC-ccosA. (1)求A. (2)若a=2,△ABC的面积为 ,求b,c. 【解析】(1)由c= asinC-c·cosA及正弦定理得 ·sinA·sinC-cosA·sinC-sinC=0. 由于sinC≠0,所以 又0<A<π,则 所以A= . (2)由正弦定理可得△ABC的面积S= bcsinA= ,故 bc=4,而由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8. 则(b+c)2=b2+c2+2bc=16,而b+c>0,故b+c=4,所以b,c是 方程x2-4x+4=0的两根,解得b=c=2. 【规律总结】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a,B,C) 正弦定理 由A+B+C=180°,求角A;由正弦 定理求出b与c;S△ABC= acsinB; 在有解时只有一解 已知条件 应用定理 一般解法 两边和夹角(如a,b,C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c;由正弦 定理求出小边所对的角;再由 A+B+C=180°求出另一角;S△ABC = absinC;在有解时只有一解 三边(a,b,c) 余弦定理 由余弦定理求出角A,B;再利用 A+B+C=180°,求出角C;S△ABC= absinC;在有解时只有一解 已知条件 应用定理 一般解法 两边和其中一边的对角(如a,b,A) 正弦定理 由正弦定理求出角B;由A+B+C =180°,求出角C;再利用正弦 定理求出第三边c;S△ABC= absinC;可有一解、两解或 无解 【巩固训练】(2015·重庆高考)在△ABC中,B=120°, AB= ,A的角平分线AD= ,则AC=__________. 【解题指南】首先根据正弦定理求出∠BDA的大小,从而能够结合角平分线判断出三角形为等腰三角形,再利用余弦定理求出AC的值. 【解析】在△ABD中,由正弦定理可知 所以sin∠BDA= ,即∠BDA=45°,所以∠BAD=15°. 又因为AD为角A的平分线,所以∠BAC=30°,∠BCA=30°, 即AB=BC= , 在△ABC中,由余弦定理可知 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC 所以AC= . 答案: 考点二:正、余弦定理的实际应用 1.正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点,主要考查距离、高度、角度等问题,试题以解答题为主,难度一般. 2.解决这类题目,一要掌握仰角、俯角和方位角等常用术语;二要通过审题把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型;三要利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解. 【典例2】已知海岛A周围8海里内有暗礁,有一货轮由 西向东航行,望见岛A在北偏东75°,航行20 海里后, 见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有 无触礁危险? 【解析】如图所示,在△ABC中, 依题意得BC=20 海里, ∠ABC=90°-75°=15°, ∠BAC=60°-∠ABC=45°. 由正弦定理,得 所以AC= 过点A作AD⊥BC. 故A到航线的距离为AD=ACsin60°= 因为 >8,所以货轮无触礁危险. 【规律总结】利用正、余弦定理解决实际应用问题的方法技巧 (1)审题作图:认真阅读题目,依据题目中给出的角(注意明确相关角的概念)及给出的相应长度,正确画出对应的图形,在图形中标出相应的角度或长度. (2)根据图形中的数据,合理选择公式及定理.注意在利用余弦定理时.有时会出现两个解,解题时要注意根据实际情况进行取舍,避免出现增解. 【巩固训练】如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB =60°,且MN=PN=500m,求塔高AB. 【解析】设AB=xm,因为AB垂直于地面, 所以△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形, 所以BM= BP= 在△MNB中,由余弦定理知 BM2=MN2+BN2