解三角形常考题型讲义-2024届高三数学一轮复习

解三角形专题二 解三角形常考题型（培优） 1、 基本知识 【解题思维导引】 1.观察题中式子两边是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后利用边、角互化思维进行转换 如“”可转化为“”等（也可反过来角化边），但如“”不可转为“”. 2.观察题中式子同时出现A\B\C三角，利用,将其中一个角换成另外两个角，或者把两个角换成另外那个角，例如“”则可将“”代入得“” 3.判断解的个数问题 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解． 如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b 解的个数 ①一解 ②两解 ③一解 ④一解 (3)已知三边，用余弦定理．有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解． 4.观察题中出现同角正弦余弦相乘，正弦或余弦的平方利用2倍角公式化简，如“，,” 5.等式中出现平方项（）或两边乘积（bc）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现时，用2bccosA替换 6.当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例，两边平方，整理得，解得 7.面积、范围问题：①建立如“”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，②全部转化为角的关系，建立函数关系式“”，利用内角的取值区间，从而求出范围 8.第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。 9.实际问题先提出变量，然后画图建立数学模型，最后转变为解三角形问题 2、 题型精练 题型一 综合性问题 例题1.记中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 练习1.已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且. (1)求及； (2)若，求，. 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，___且b，请从①b2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积． 题型二 实际应用问题 例题（多选）1.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ） A．的周长为 B．三个内角满足 C．外接圆的直径为 D．的中线的长为 2.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（，） A．10km B．20km C．30km D．40km 练习1.如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高MN. 2.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离 km 题型三 高、中点、角平分线问题 例题1.在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 2.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC，b，c＝2，D为BC的中点． ①求cos∠BAC的值； ②求AD的值． 练习（多选）1.在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若,则△ABC的面积为( ) . A． B． C. D． 2.在斜△ABC中，设 A.B.C的对边分别为a,b,c，已知，若是角的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 题型四 最值、取值范围问题 例题1.已知在中，，． （1）求面积的最大值； （2）求周长的最大值； （3）若三角形为锐角三角形，求周长的取值范围； （4）求的取值范围； （5），求的取值范围． 练习1.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形专题二 解三角形常考题型（培优） 1、 基本知识 【解题思维导引】 1.观察题中式子两边是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后利用边、角互化思维进行转换 如“”可转化为“”等（也可反过来角化边），但如“”不可转为“”. 2.观察题中式子同时出现A\B\C三角，利用,将其中一个角换成另外两个角，或者把两个角换成另外那个角，例如“”则可将“”代入得“” 3.判断解的个数问题 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解． 如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b 解的个数 ①一解 ②两解 ③一解 ④一解 (3)已知三边，用余弦定理．有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解． 4.观察题中出现同角正弦余弦相乘，正弦或余弦的平方利用2倍角公式化简，如“，,” 5.等式中出现平方项（）或两边乘积（bc）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现时，用2bccosA替换 6.当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例，两边平方，整理得，解得 7.面积、范围问题：①建立如“”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，②全部转化为角的关系，建立函数关系式“”，利用内角的取值区间，从而求出范围 8.第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。 9.实际问题先提出变量，然后画图建立数学模型，最后转变为解三角形问题 2、 题型精练 题型一 综合性问题 例题1.记中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【解答】 (1)由正弦定理可得，故，因为，故，故，又，故 (2)根据余弦定理可得，故，故，.当时， ；当时，，故的面积为或 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解答】 （1）因为，所以， 即，解得，又，所以； （2）因为，所以， 即①，又②， 将②代入①得，， 即，而，解得，所以，故， 即是直角三角形． 练习1.已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且. (1)求及； (2)若，求，. 【答案】(1)， (2)，或， 【解答】 (1)由及正弦定理，得， 又在中，，则，可得， 即得，又，则.又的外接圆的半径， 由正弦定理，则. (2) 由（1）知，，又，则由余弦定理得，解得，由，解得，或，. 2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，___且b，请从①b2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积． 【答案】 【解答】 解：若选择①， 由余弦定理， 因为B∈（0，π），所以； 若选择②acosB＝bsinA，则sinAcosB＝sinBsinA， 因为sinA≠0，所以sinB＝cosB， 因为B∈（0，π），所以； 若选择③，则， 所以，因为B∈（0，π），所以，所以，所以； 由正弦定理，得，因为，，所以 ，所以，所以．故答案为：． 题型二 实际应用问题 例题（多选）1.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ） A．的周长为 B．三个内角满足 C．外接圆的直径为 D．的中线的长为 【答案】ABC 【解答】 因为， 由正弦定理可得，设，，，所以，整理可得，所以，可得：， 所以，，。对于A：的周长为，故选项A正确； 对于B：由余弦定理得：，因为，所以，所以，所以三个内角满足，故选项B正确； 对于C：由正弦定理知，外接圆直径，故选项C正确； 对于D：如图，所以， 所以，即，解得：，所以的中线的长为，故选项D不正确； 故选：ABC. 2.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（，） A．10km B．20km C．30km D．40km 【答案】B 【解答】 在中，由，得， 由正弦定理得，所以， 所以，所以，故选：B. 练习1.如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高MN. 【答案】150 【解答】 在直角△ABC中，因为BC=100m,∠CAB=45°,所以AC=；在△MAC中，因为∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°，根据正弦定理，在直角△MNA=60°，所以 2.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为　　　　km. 【答案】7 【解答】 由题意可知∠ABC=60°+90°=150°,由余弦定理得,所以AC=7 题型三 高、中点、角平分线问题 例题1.在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】 解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ， ∵在△ABC中，B，BC边上的高AD＝hBCa，∴BD＝ADa，CDa， 在Rt△ADC中，cosθ，故sinθ， ∴cosA＝cos（θ）＝coscosθ﹣sinsinθ．故选：C． 2.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC，b，c＝2，D为BC的中点． ①求cos∠BAC的值； ②求AD的值． 【答案】① ② 【解答】 解：①在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC ∴，∴（a﹣3）（a+1）＝0解得a＝3（a＝﹣1已舍去）， ∴． ②在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC∴BC＝3，∴,在△ABD中，由余弦定理得 AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，∴ 练习（多选）1.在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若,则△ABC的面积为( ) . A． B． C. D． 【答案】AB 【解答】 在△BCD中，应用余弦定理可得，代值得：，解得CD=3或5，所以AC=10或12，所以△ABC的面积为，故选AB. 2.在斜△ABC中，设 A.B.C的对边分别为a,b,c，已知，若是角的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】 由已知，根据正弦定理可得又由余弦定理可得故即结合三角形角平分线定理可得，再结合余弦定理可得 ，，由 ，可得 故 故选B. 题型四 最值、取值范围问题 例题1.已知在中，，． （1）求面积的最大值； （2）求周长的最大值； （3）若三角形为锐角三角形，求周长的取值范围； （4）求的取值范围； （5），求的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） （4） （5） 【解答】 解：（1）由余弦定理可得：，，当且仅当时取等号，即． ，的最大值为． （2），化为，当且仅当时取等号． ，因此周长的最大值为：6． （3）由正弦定理可得：， ，，，，，，． （4）由正弦定理可得：， ，其中，，． ，，，． （5），， ，， 化为， ．即． 练习1.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　 【答案】 【解答】 解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c ⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc， 又因为：a＝2，所以：， △ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc，⇒b2+c2﹣bc＝a2 ⇒b2+c2﹣bc＝4 ⇒bc≤4 所以：，即△ABC面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$