精品解析：青海省西宁市第一中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

西宁市第一中学期中测试九年级数学试卷 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ） A. B. C. D. 7. 不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 10. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 11. 已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值为_______． 12. 二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为_______________．（用“”连接） 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 若，则_______． 15. 已知二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有______________（填序号）． 16. 抛物线与坐标轴的交点坐标为__________． 17. 已知函数，若y是x的反比例函数，则m的值为__________． 18. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 三、解答题（共76分） 19. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）化简： 20. 解下列方程 （1）（用配方法） （2）（公式法） 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 22. 公园内有一片靠墙（墙足够长）的空地，工作人员计划为一个矩形区域种植郁金香，矩形区域一边靠墙，另外三边用篱笆围住，篱笆总长为 ． （1）如图，若在矩形区域内设计两条等宽的绿化带，余下部分种植郁金香，要求，郁金香的种植面积为，求绿化带的宽． （2）若在矩形区域内全部种植郁金香，篱笆总长不变，怎样围可以使种植的面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 24. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，经市场调查，每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 25. 若抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点为顶点，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的长． 26. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）①列表：如表是，的几组对应值，其中_______，_______； （3） ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出其余三个点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （4）请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为__________． （5）当直线与这个新图象有三个交点时，m的取值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第一中学期中测试九年级数学试卷 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当时，变为，此时不是一元二次方程； B．的分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程； C．整理得，不是一元二次方程； D．整理得，是一元二次方程． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数上点满足，依次计算各选项横纵坐标乘积，找出乘积等于的点. 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足， 选项、、的横纵坐标乘积均为，不符合题意. 选项的横纵坐标乘积为，符合题意. 3. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律求解平移后的解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得， 再向右平移4个单位长度，得． 5. 已知二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先从解析式得到对称轴，再利用抛物线的对称性求出另一个与轴交点，结合开口方向判断对应的范围． 【详解】二次函数，对称轴：， 由图像可知，抛物线一个交点是，设另外一个交点为， 根据对称轴：， 解得：， 抛物线二次项系数，开口向下， 代表图像在轴上方的部分， 对应的自变量取值：， 故选A． 6. 天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 7. 不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据直线不经过第三象限判断出a、b的取值范围，再根据a的取值范围可判断出开口方向，再加上b的取值范围可判断出对称轴，最后根据判断出与y轴交点，进而可得答案． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴，， ∴的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于， ∴D符合． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可. 【详解】解： 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得. 10. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 【答案】11 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=55， 整理，得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为11. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11. 已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝2，一元二次方程的根是指使方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 12. 二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为_______________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，计算三个点到对称轴的水平距离，结合开口向上时函数值随点到对称轴距离增大而增大的性质比较大小． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 抛物线开口向上，图象上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且三个点到对称轴的距离满足， ． 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为． 考点：根与系数的关系． 14. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 15. 已知二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有______________（填序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断①；根据与x轴交点个数判断②；根据对称轴位置判断③；根据对应的y值判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴交点位于y轴的正半轴， ，， 对称轴为直线，， ， ，故①错误； 抛物线与x轴有两个交点， 有两个不相等的实数根， ，故②正确； ， ， ，故③错误； 时对应点在x轴下方， ，故④正确； 综上可知，正确的有②④， 故答案为：②④． 16. 抛物线与坐标轴的交点坐标为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】坐标轴分为轴、轴；与轴交点：令；与轴交点：令，解方程求出横坐标． 【详解】解：令．代入，得． ∴抛物线与轴的交点坐标为； 求抛物线与轴的交点时，令．代入解析式得， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 17. 已知函数，若y是x的反比例函数，则m的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】反比例函数标准形式为，要同时满足：的指数等于，且系数不等于0． 【详解】∵是反比例函数 由，解得或； 由，解得且． 综上．舍去．得． 18. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点P在第二象限及矩形面积等于的性质确定k值． 【详解】解：设点P的坐标为， 图中矩形面积是4， ， 图象在第二象限， ， ． 三、解答题（共76分） 19. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解下列方程 （1）（用配方法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ，， ． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴该方程总有实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴解得，即的值为或． 22. 公园内有一片靠墙（墙足够长）的空地，工作人员计划为一个矩形区域种植郁金香，矩形区域一边靠墙，另外三边用篱笆围住，篱笆总长为 ． （1）如图，若在矩形区域内设计两条等宽的绿化带，余下部分种植郁金香，要求，郁金香的种植面积为，求绿化带的宽． （2）若在矩形区域内全部种植郁金香，篱笆总长不变，怎样围可以使种植的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）垂直于墙的两边各、平行于墙的一边时种植面积最大；最大面积为 【解析】 【分析】（1）由篱笆总长与的长先求出，再把横、竖两条绿化带移到矩形边缘，用含带宽的式子表示种植面积并列式求解； （2）设垂直于墙的一边为，把面积写成关于的式子，用完全平方的非负性确定最大面积与对应的围法． 【小问1详解】 解：∵，篱笆总长为． ∴． 设绿化带的宽为． 把横、竖两条绿化带分别移到矩形的边缘，余下的四块种植区域可拼成长为、宽为的矩形． ∴． 整理得． ∴． ∴或． ∵绿化带的宽必须小于矩形的宽． ∴不合题意，舍去． ∴绿化带的宽为． 【小问2详解】 解：设垂直于墙的一边长为． ∴平行于墙的一边长为． 设种植面积为． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵当时，． ∴此时，． ∴垂直于墙的两边各围、平行于墙的一边围时种植面积最大，最大面积为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 【答案】（1） （2）点的坐标是或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入和求出即可； （2）设此直线交轴于点C，求得，，再根据面积求出点P坐标； （3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方时对应的x的值． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于， ∴把代入和，得： ，， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线表达式为，设此直线交轴于点C，如下图： ∴， 解得：， ∴， ∵直线，当时，， 解得：， ， ∵在轴上找一点，使得的面积等于12， ∴， ， ， ∴点的坐标是或； 【小问3详解】 解：由图可知，双曲线的图象在一次函数的图象的上方时满足不等式， ∴x的取值范围为或． 24. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，经市场调查，每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）设，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）分析题意，根据总利润销售量 (售价成本)，结合（1）可得出与x的表达式； 再根据二次函数的图象和性质，求出二次函数的最大值就是最大利润，此时的x的值就是商品的售价． 【小问1详解】 解：每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系， 设， 结合表格有， 解得， y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题知， 整理得， ， 当时，获得利润最大． 25. 若抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点为顶点，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将，代入二次函数表达式中，解关于，的二元一次方程组，即可得到结果； （2）根据，坐标求出直线的表达式，再求出抛物线的顶点的坐标，结合直线求出点坐标，可得的长． 【小问1详解】 解：将，代入中， 得，解得， ∴； 【小问2详解】 在中，对称轴为直线， 令，则， 令，则， ∴，， 设直线的表达式为，将，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 令，则， ∴， ∴． 26. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）①列表：如表是，的几组对应值，其中_______，_______； （3） ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出其余三个点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （4）请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为__________． （5）当直线与这个新图象有三个交点时，m的取值是________． 【答案】（1）全体实数 （2）①，；②描点如图： ③所作函数图象如图所示： （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）①把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）根据m的取值进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由可知：自变量为全体实数； 【小问2详解】 解：①当时，则有； 当时，则有； ②略 ③略 【小问3详解】 解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 【小问4详解】 解：如图 由图可得， ①当时，直线与抛物线没有交点，不符合题意； ②当时，直线与抛物线只有2个交点，不符合题意； ③当时，直线与抛物线有4个交点，不符合题意； ④当时，直线与抛物线有3个交点，符合题意； ⑤当时，直线与抛物线有2个交点，不符合题意； 综上所述，当直线与抛物线有3个交点时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $