精品解析：河南商丘市永城市第一高级中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 班级里所有高个子的男生 B. 平面直角坐标系中所有接近原点的点 C. 所有举办过夏季奥运会的城市 D. 所有著名的数学家 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “与存在两组角对应相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某现代农业园的智能温室采用自动温控系统，已知温室的加热功率（单位：kW）与室外温度（单位：℃，）之间存在函数关系．根据系统设定：①当室外温度时，温室无需加热； ②当室外温度时，加热功率随室外温度的降低而均匀增加．已知当室外温度为时，加热功率为．则加热功率关于室外温度的函数解析式可以为（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. 任意一个平行四边形的两条对角线都互相平分 D. 存在一个正整数，既是偶数又是质数 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 下列命题正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数在区间上的值域为 D. 若函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是______． 13. 函数与的图象的交点组成的集合为______． 14. 已知函数，，若是偶函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求和； （2）若 且，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）若关于的方程的解集只有一个元素，求的值； （2）若，讨论关于的不等式的解集． 17. 已知函数的图象的顶点坐标为，函数的图象是经过点和的直线． （1）分别求，的解析式； （2），记，中的较大者为，求函数的解析式． 18. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且满足，求的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 19. 已知是定义在区间上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）若方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 班级里所有高个子的男生 B. 平面直角坐标系中所有接近原点的点 C. 所有举办过夏季奥运会的城市 D. 所有著名的数学家 【答案】C 【解析】 【详解】由于“高个子”、“接近”、“著名”都是不确定性的描述，即A、B、D中的对象都不能构成集合， 而举办过夏季奥运会的城市是确定的，故C中对象可以构成集合. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，且，则. 3. “与存在两组角对应相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则两个三角形的对应角相等，必然存在两组角对应相等，故必要性成立， 若与存在两组角对应相等，则，边长不一定对应相等，不能推出，故充分性不成立， 所以与存在两组角对应相等是的必要不充分条件. 4. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，只需判别式，解得. 5. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，进而得，再应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，所以，则， 因为，所以，当且仅当时取等号，此时， 所以的最小值是4. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则， 由，得，则， 所以，又，所以， 所以实数的取值范围为. 7. 某现代农业园的智能温室采用自动温控系统，已知温室的加热功率（单位：kW）与室外温度（单位：℃，）之间存在函数关系．根据系统设定：①当室外温度时，温室无需加热； ②当室外温度时，加热功率随室外温度的降低而均匀增加．已知当室外温度为时，加热功率为．则加热功率关于室外温度的函数解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，温室无需加热，即， 当时，随着的降低而均匀增加，说明在这一段是单调递减的一次函数，排除A，C， 又时，，代入验证可知，排除D，只有B符合. 8. 下列函数既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A，由，即是偶函数，错误； B，由，即是奇函数，但，不满足在上单调递减，错误； C，由，即是奇函数， 在上、都是单调递减的，所以在上单调递减，正确； D，由，则，，显然，故不是奇函数，错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. 任意一个平行四边形的两条对角线都互相平分 D. 存在一个正整数，既是偶数又是质数 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，对于任意实数，都有，所以恒成立，故为真命题； 对于选项B，由判别式，该方程无实数根，即不存在实数使方程成立，故为假命题； 对于选项C，根据平行四边形的性质，两条对角线互相平分，故为真命题； 对于选项D，正整数2既是偶数，又是质数，故为真命题. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】A，若且，则，正确； B，因为，所以，错误； C，因为，则，同理，所以，错误； D，因为，则，又，所以，即，正确. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数在区间上的值域为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，函数有意义的条件是且，解得，故的定义域为，故B正确； 对于C，，在区间上，当时取得最小值，又，，所以最大值为，值域为，故C正确； 对于D，由时，得，； 又因，所以，从而，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【详解】全称命题的否定规则：改为，结论否定，条件不变. 所以命题“，”的否定是，. 13. 函数与的图象的交点组成的集合为______． 【答案】 【解析】 【详解】联立，消去得，即，得或， 当时，，得交点， 当时，，得交点， 故交点组成的集合为. 14. 已知函数，，若是偶函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求参数，得，，再由奇偶性和单调性列不等式求解集. 【详解】因为是偶函数，则，得，故定义域为， 所以，而， 所以，可得， 综上，，，且在上单调递增，在上单调递减， 于是不等式等价于， 所以，得， 故原不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求和； （2）若 且，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【详解】（1）由，解得，所以． 由，得． 所以，． （2）由，可得，即． 要使 ，需满足且两个不等式中的等号不同时成立． 解得． 综上，实数的取值范围是． 16. 已知函数，． （1）若关于的方程的解集只有一个元素，求的值； （2）若，讨论关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【详解】（1）当时，，此时方程无解． 当时，因为方程的解集只有一个元素， 所以，解得（舍去）． 综上，． （2）不等式转化为，即． 当时，不等式化为，无解，即原不等式的解集为； 当时，，解得，原不等式的解集为； 当时，，解得，原不等式的解集为； 当时，，解得或，原不等式的解集为． 17. 已知函数的图象的顶点坐标为，函数的图象是经过点和的直线． （1）分别求，的解析式； （2），记，中的较大者为，求函数的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】（1）因为二次函数的图象的顶点坐标为， 利用顶点式可得，展开得． 由的图象是一条直线，可设，， 由的图象经过点和，代入得，解得， 所以． （2）由，解得或． 由，解得． 所以当或时，，此时； 当时，，此时． 所以 18. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且满足，求的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）8（2）8（3）9 【解析】 【分析】(1)由，得，将拆为，即可对使用基本不等式求最小值； (2)由，把乘以，开后成为“积为定值”的两项之和，再用基本不等式求最小值； (3)不等式恒成立等价于，由于，可把该式乘以展开，再用基本不等式求最小值，即得的最大值. 【详解】（1）因为，所以． 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为8． （2）因为，，且， 所以． 由基本不等式可得， 当且仅当且，即，时取等号． 所以的最小值为8． （3）不等式恒成立，等价于． ． 由基本不等式，可得， 当且仅当，即时取等号． 所以． 所以，即的最大值为9． 19. 已知是定义在区间上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）若方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在区间上单调递增， 证明：任取，且， 因为， 所以， 因为，所以，且，， 所以，即， 故在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求函数解析式即可； （2）由单调性的定义，应用作差法判断证明单调性即可； （3）分别讨论，结合区间中根的个数及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以时，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，所以是方程的一个实数根， 当时，，当时，， ①若，则原方程化为，该方程只有1个实数根，不符合题意， ②若，则恒成立，则另外两个实数根都在区间内， 当时，令，得， 因为的对称轴为，且或时，均有， 所以只需，即，结合，得， ③若，则恒成立，则另外两个实数根都在区间内， 当时，令，得， 因为的对称轴为，且或时，， 所以只需，即，结合，得， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $