精品解析：河南郑州外国语学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

郑州外国语学校2026-2027学年高一上期期中考试试卷 数学 （120分钟 150分） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，则是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式 的解集为（　　） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 6. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选不得分.） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. D. 若，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为________． 13. 已知定义在的函数满足： （1） （2） 则可能的解析式为_________.（写出一个答案即可） 14. 已知函数，定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，则实数的最小值为________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知一元二次函数 ． （1）当 时，求 的值域； （2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数（）是奇函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. 18. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． （1）求，的解析式； （2）判断的单调性并用单调性的定义证明； （3）设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 19. 对定义在非空集合上的函数，以及函数，定义，其中表示在上的最大值. （1）函数，求； （2）函数，若，求的值； （3）函数，当取最小值时，求的值，并求出该最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2026-2027学年高一上期期中考试试卷 数学 （120分钟 150分） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得，所以，则 . 2. 已知命题：，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得为. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，故或，解得或， 所以可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件 4. 不等式 的解集为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】即 ，即 ，解得 ，所以不等式 −的解集为. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由函数的定义域求复合函数的定义域，再结合对数函数的性质可得. 【详解】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 6. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，，， 因为，. 7. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】先确定定义域是否关于原点对称，再由奇函数定义进行判断 【详解】由题意得，函数的定义域需满足，解得或. 令，其定义域满足或，解得， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误； 令，其定义域满足或，解得， 关于原点对称，又， ， 所以是奇函数，C正确，D错误. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选不得分.） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A利用不等式的性质求解；选项B，举反例求解；选项C，作差法求解；选项 D，利用不等式的性质求解. 【详解】选项A，因为，，所以， 因为，所以，则，则，A正确； 选项B，举反例：，且， 取：，满足， ，此时，和命题矛盾，B错误； 选项C，， 因为，所以分子分母都大于0， 则，即，C错误； 选项D，若，所以，则，D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 先由指数式转化为对数式，然后利用对数的运算公式可判断AD，利用基本不等式可判断B，取中间值1.5结合对数函数的单调性可判断C. 【详解】由得， 由换底公式得，B正确； 根据基本不等式，且，因此，A正确； ，，因此，C错误； ，​ 由倒数关系，且， 代入得： 与右边相等，D正确. 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接令即可解得；对于B，令，可得为奇函数，利用的单调性即可判断的单调性；对于C，结合且即可判断；对于D，将转化为，分情况讨论即可． 【详解】对于A，令，得，解得，A正确； 对于B，令，则， 取，得，结合，故为奇函数， 由于当时，，故， 由于为奇函数，所以当时，，故， 因此不是减函数，B错误； 对于C，由于， 且，， 故，C正确； 对于D，由得， 两边同乘并整理得， 若，则，且， 故，不满足； 若，则，且， 故，不满足； 若，则， 故，满足； 若或，则，不满足， 因此不等式成立当且仅当，D正确． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由基本不等式，，再验证等号成立条件即可. 【详解】由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为6. 13. 已知定义在的函数满足： （1） （2） 则可能的解析式为_________.（写出一个答案即可） 【答案】 【解析】 【详解】，结合对数的运算性质， 构造，， 若，则，解得，故； ，的定义域为， ， . 故满足题目要求. 14. 已知函数，定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，则实数的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】该开口向上的二次函数，分区间在对称轴同侧、跨过对称轴两类，分别求出长度为1区间上函数最值差的不等式，取约束条件确定参数范围. 【详解】对于， 函数图像抛物线开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： ①当时，在上单调递增， 可得 ， ∴，得 ②当时， 在上单调递减，在上单调递增， 结合，可得函数在区间上的最大值为 ，最小值为 ， 可得， ∵，有，，∴，. 综上可得，正数最小值为4. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知一元二次函数 ． （1）当 时，求 的值域； （2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将解析式配方，比较顶点及区间两端点处的函数值，确定值域． （2）利用二次函数的单调性，将给定区间包含于其递增区间转化为对的限制． 【小问1详解】 ，配方得，因为，所以当时，取得最小值； 又在上单调递减，在上单调递增，且，，所以的最大值为21，值域为． 【小问2详解】 由第（1）问的配方结果可知，在上单调递减，在上单调递增，故题设等价于， 即，解得，即实数的取值范围为． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算即可； （2）由题意得命题“，”为真命题，利用即可求解实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 由，得或． 则或． 【小问2详解】 因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题， 所以， 所以，即，即． 在的条件下，若，则或，解得或， 所以由，得， 所以实数的取值范围为． 17. 已知函数（）是奇函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）先根据复合函数单调性法则判断函数的单调性，再由单调性求解即可. 【小问1详解】 设定义域为 因为是奇函数，所以对，恒成立， 所以，即：， 所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）， 因为在上单调递减，在定义域上单调递减， 则根据复合函数单调性可得在上单调递增. 又函数是奇函数， 所以由，可得 . 所以，解得：， 所以原不等式的解集为. 18. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． （1）求，的解析式； （2）判断的单调性并用单调性的定义证明； （3）设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性结合方程组法求解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）由题可得，利用单调性法及不等式的性质直接求出的最小值，利用换元法求出的最小值，解不等式即可. 【小问1详解】 ，则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是. 19. 对定义在非空集合上的函数，以及函数，定义，其中表示在上的最大值. （1）函数，求； （2）函数，若，求的值； （3）函数，当取最小值时，求的值，并求出该最小值. 【答案】（1）4. （2）. （3）当取最小值时，，对应的最小值为. 【解析】 【分析】（1），由二次函数对称轴和开口方向得出单调性，即可求出最大值； （2），分类讨论结合求解值； （3），通过对称轴得出单调性后，可求得的最小值. 【小问1详解】 ， 因，所以， 对于二次函数，其对称轴，开口向上，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，最大值为4，所以； 【小问2详解】 ，令，因为，所以在上单调递减， 则在上的最大值为，最小值为， 当时，的最大值为，由，解得，不符合题意； 当时，的最大值为，由，解得，不符合题意； 当时，的最大值为，由，解得，满足题意. 综上所述，. 【小问3详解】 ，令，其对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增，，，， 则的最大值为，当时，取最小值，即， 此时的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $