精品解析：浙江省9+1联盟2026-2027学年高二上学期11月学业质量阶段调研数学试题

2026学年第一学期高二年级学业质量阶段调研 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某小组的跳远成绩（单位：）分别为4.2，5.1，3.8，5.5，4.7，则这组数据的极差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为：3.8，4.2，4.7，5.1，5.5， 故极差为. 2. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合和后，根据补集的概念进行运算即可得到答案. 【详解】， ， . 故选：A 【点睛】本题考查了解对数不等式，考查了集合的补集运算，属于基础题. 3. 已知复数则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的运算，来判断是否可以推出即可. 【详解】当时，，所以，故“”是“”的充分条件； 当时，由，解得：， 故“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知直线的方程为，则直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由直线的方程为， 得直线的一个方向向量是， 因此是直线的一个方向向量． 5. 已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助渐近线定义与离心率定义计算即可得. 【详解】由题意知的倾斜角为，所以， 则. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系与两角差的正弦，分别求出和.再利用两家和的正弦公式求，最后利用二倍角公式求. 【详解】因为. 又，所以，. 所以. 所以. 故选：B 7. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，点为第一象限内的一点，且，直线与双曲线交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合双曲线离心率为，不妨取双曲线方程为，由可得，设，则，在与中求解出,最后求出. 【详解】双曲线离心率，得，不妨令，则， 因为，所以， 设，则， 在中，， 在中，，所以，则，解得，所以. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其中是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是奇函数 D. 方程在区间上存在3个不同的解 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，根据三角函数解析式的求法可得，可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据诱导公式化简可得，结合余弦函数的奇偶性可判断C；由题可得，解方程可判断D. 【详解】对于选项A：是的对称中心，所以， 即，所以，又因为，所以， 所以，故A正确； 对于选项B：因为， 令，解得， 令，解得， 当时，单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故B错误； 对于选项C：， 所以是偶函数，故C错误； 对于选项D：，即， 因为，所以， 所以或或， 所以或或， 所以方程在区间上存在3个不同的解，故D正确. 10. 借助黎曼分层细分几何体的思想研究四棱锥，底面为边长等于的正方形，是正方形中心，平面.设，作平面底面，平面到顶点的竖直高度与棱锥总高之比为，截得上方小四棱锥为中点.下列结论正确的有（ ） A. 平面与侧面所成锐二面角的正切值恒为定值，与无关 B. 当时，记棱锥的体积为，当时，记棱台的体积为，则 C. 直线与平面所成角正弦值的最大值为 D. 棱台外接球半径的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，取中点，说明平面与侧面所成锐二面角与平面与侧面所成锐二面角相等，证明为所求，再解三角形求其正切即可，对于选项B，由棱锥与棱锥相似，结合相似的性质及相似比求结论；对于选项C，设点到平面的距离为，可得到平面的距离为，结合线面角定义可得，解三角形求其范围；对于选项D，确定球心位置，再求球的半径的表达式及其范围. 【详解】对于选项A，取中点，连接， 因为平面底面， 故平面与侧面所成锐二面角与平面与侧面所成锐二面角相等， 由已知，所以平面与平面所成的锐二面角为， 又，， 所以，恒为定值，故选项A错误； 对于选项B，由体积的相似比知，设四棱锥的体积为，当时，， 当时，，所以，所以，故选项B正确； 对于选项C，设点到平面的距离为， 因为为的中点，所以到平面的距离为， 因为三棱锥的体积， 又，，所以， 所以，设直线与平面所成角为， 所以，故当取最小值时，取最大值， 在中，，， 所以， 过点作，垂足为，则， 所以当时，即点与重合时，取最小值，此时， 所以，故选项C错误； 对于选项D，设与的交点为，由球的截面性质和棱台的性质可得球心在线段上或的延长线上， 当球心在线段上时，设球心为，， 则， 解得，此时，， 当球心在的延长线上时，设球心为，， 则， 解得，此时，， 当球心与重合时，则， 解得， 综上所述，， 球的半径的范围为，故选项D正确. 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离最大值为 C. 曲线构成的封闭图形面积大于的面积 D. 曲线与直线的交点个数为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入曲线方程中，即可判断A，将式子变形为，进而利用不等式的性质即可求解B，根据，即可求解C，联立方程，求解交点坐标即可判断D. 【详解】A：设为曲线上任意一点，它关于轴的对称点是， 将代入曲线的方程得， 化简得与原方程相同，故也在曲线上，则轴是曲线的一条对称轴，故A正确； B：，故最大值为2，取等号，故B错误； C：，所以曲线包含圆， 故曲线构成的封闭图形面积大于的面积，C正确； D：联立方程组， ①时，，解得交点为，； ②时，，解得交点为，故三个交点，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若与平行，则为__________． 【答案】 0 【解析】 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 13. 在平面直角坐标系中，半径为的圆的圆心在直线：上运动，过作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先利用切线性质与四边形面积的两种表示方式，将转化为关于的表达式；再由圆心在定直线上运动，可知的最小值为点到直线的距离，代入表达式即可求得的最小值． 【详解】 ， 由到直线：的距离， 得，所以． 14. 已知在四面体中，和的面积分别是3和5，二面角的平面角为120°，设为四面体内切球的球心，则经过棱与点的平面截该四面体所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设平面，在平面中从点向作高，在平面中从点向作高，利用算两次思想计算四面体的体积即可计算. 【详解】设平面， 因为点到平面和平面的距离相等，且二面角的大小为， 所以截面与平面和平面的夹角均为， 设，且， 在平面中从点向作高，长度为， 在平面中从点向作高，长度为，则， 则点到平面的距离为， 点到平面的距离为， 设截面的面积为，则四面体的总体积为 ， 因为点到平面的距离为， 所以四面体的总体积还可以表示为， 则，得. 则经过棱与点的平面截该四面体所得截面的面积为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. （1）求； （2）若，设为中点，求中线长度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，并结合内角和定理，正弦和角公式化简整理得即可得答案； （2）根据余弦定理，结合基本不等式得，再结合中线公式得即可求得答案. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 又因为， 所以，即， 因为、，则，所以, 所以，，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 又因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 另一方面，， 所以，即，当且仅当时，取等号， 所以，中线长度的最大值为. 17. 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求长． 【答案】（1）由平面平面，且平面，平面平面，，则平面， 又平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理可得平面，进而根据面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，进而根据向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，则结合（1）得，，两两垂直， 则以为原点，直线，，的平行线为，，轴建立如图空间直角坐标系， 在中，由，，则， 则在中，得， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以，解得，即， 所以长为． 18. 已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）, （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）易知，再由离心率定义得到，再由得到，从而得到双曲线方程. （2）（ⅰ）先设直线方程并与双曲线方程联立得到 ①， ②，再由可得到 ③，联立①②③可解得：，从而得到直线方程.（ⅱ）先通过向量数量积得到，再通过，从而得到，最后通过函数在上是单调递增函数，求得的取值范围. 【小问1详解】 已知双曲线：的左焦点为，因此， 由离心率定义，代入可得：，即， 又因为，所以，将代入双曲线方程， 可得到双曲线的方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）设过点的直线的方程为，，与双曲线方程联立： 消去整理得：， 设，，,，由韦达定理得： ① ， ②. 由双曲线的中心对称性可知：若直线与的另一个交点为，则. ， ， 又，即，即， 又因为，， 所以，即，即 ③， 联立①，③可得：，， 所以，即，解得： ，又因为，所以. 故直线的方程为，即. （ⅱ）因为，在双曲线上， 所以有，作差可得：， 即，即， 又，， 所以，即. 由弦长公式得：， ， ，， ， ，即， ， ， 函数在上是单调递增函数， 当时，， 当时，， 因此，的取值范围为. 19. 一动圆圆心在曲线上，已知该动圆过定点，并且与定圆内切，曲线的左､右顶点分别为，对曲线上不与重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为. （1）求动圆圆心所在的曲线的方程； （2）已知； （i）记点到直线的距离分别为，求的最大值； （ii）平面上是否存在一个定点，满足：对四边形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii）不存在， 假设存在定点，满足题目要求； 对于椭圆上异于点的另一点，则， 记直线与的交点坐标为，则， 所以，直线同时经过点，此即为直线方程. 对于线段上的任一点，因为直线经过点，所以， 故对给定的点，直线与的交点一定落在直线上，该直线方程变形得， 令，因此该直线一定经过点， 因此若存在定点，则点坐标只可能为 同理，对于线段上的任一点，可得此时直线与的交点一定落在直线上，但点不一定落在该直线上，与假设矛盾，故不存在. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动圆圆心的轨迹为椭圆，再求方程即可； （2）（i）设点，进而根据几何关系求得，再计算，代入化简整理得，再结合的范围即可求得答案； （ii）利用反证法，假设存在定点，分别讨论在正方形各边上时点的坐标，推出矛盾即可证明. 【小问1详解】 解：设动圆的半径为，动圆与定圆内切于点，如图， 由题易知定圆的圆心为，半径为，则， 所以，， 所以，的轨迹为椭圆，为左右焦点， 所以，， 所以，动圆圆心所在的曲线的方程为 【小问2详解】 解：（i）设点，因为点是椭圆上异于的点，所以，且； 直线的方程为，可得； 直线的方程为，可得； 故直线的斜率， 由得，故， 故直线的方程为，化简得， 故， ， 所以，， 所以，当时，. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高二年级学业质量阶段调研 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某小组的跳远成绩（单位：）分别为4.2，5.1，3.8，5.5，4.7，则这组数据的极差为（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线的方程为，则直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，点为第一象限内的一点，且，直线与双曲线交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，其中是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是奇函数 D. 方程在区间上存在3个不同的解 10. 借助黎曼分层细分几何体的思想研究四棱锥，底面为边长等于的正方形，是正方形中心，平面.设，作平面底面，平面到顶点的竖直高度与棱锥总高之比为，截得上方小四棱锥为中点.下列结论正确的有（ ） A. 平面与侧面所成锐二面角的正切值恒为定值，与无关 B. 当时，记棱锥的体积为，当时，记棱台的体积为，则 C. 直线与平面所成角正弦值的最大值为 D. 棱台外接球半径的取值范围为 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离最大值为 C. 曲线构成的封闭图形面积大于的面积 D. 曲线与直线的交点个数为3 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若与平行，则为__________． 13. 在平面直角坐标系中，半径为的圆的圆心在直线：上运动，过作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______． 14. 已知在四面体中，和的面积分别是3和5，二面角的平面角为120°，设为四面体内切球的球心，则经过棱与点的平面截该四面体所得截面的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. （1）求； （2）若，设为中点，求中线长度的最大值. 17. 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求长． 18. 已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19. 一动圆圆心在曲线上，已知该动圆过定点，并且与定圆内切，曲线的左､右顶点分别为，对曲线上不与重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为. （1）求动圆圆心所在的曲线的方程； （2）已知； （i）记点到直线的距离分别为，求的最大值； （ii）平面上是否存在一个定点，满足：对四边形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $