精品解析：浙江省宁波市六校联盟2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

2026学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点关于面对称的特点，代入计算，即可得到结果. 【详解】点关于平面对称点的坐标满足横坐标相等， 纵坐标相等，竖坐标互为相反数， 则对称点的坐标为. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线得出，即可得出渐近线方程. 【详解】因为双曲线，所以，所以， 渐近线方程为. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行列出方程代入计算，再由充分条件以及必要条件的定义判断，即可得到结果. 【详解】由直线与直线平行， 当时，，，两直线平行， 当时，可得，解得，此时与平行， 又“”是“或”的充分不必要条件， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 4. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 5. 已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（ ） A. l与圆C相交，且 B. l与圆C相切，且 C. l与圆C相离，且 D. l与圆C相离，且 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，根据点到直线的距离公式可得，利用圆的性质可得过点A的圆的最短弦与垂直，进而即得. 【详解】因为点是圆内一点， 所以， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相离， 由圆的性质可知当时，过点A的圆的弦最短，此时， 所以. 故选：D. 6. 已知为空间中四点，任意三点都不共线，为平面外一点，，若四点共面，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为为空间中四点，任意三点都不共线， 则，， 由可得， 即，所以，则. 7. 已知直线与的交点的轨迹为曲线，过点作曲线的切线，则切线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线的方程可得曲线是以为圆心，为半径的圆，然后分切线的斜率存在与不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】设交点，联立两直线方程，消去可得， 化简可得， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 将代入曲线可得，所以点在圆外， 当切线的斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设斜率为，切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得， 代入整理可得切线方程为； 综上，两条切线为和. 8. 已知椭圆的上焦点，点在椭圆外，点、在椭圆上，且满足，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，由向量关系式可得，，再由椭圆的方程结合两直线斜率之积为，代入计算，即可得到的关系式，从而得到结果. 【详解】由可得，上焦点可知椭圆焦点在轴上， 则， 设，且， 由可得，整理可得，， 又在椭圆上，则①，②， 将，，代入②中，可得③， 由①可得④， 用④减去③，展开化简可得 ， 即，解得， 又直线的斜率为， 直线的斜率为， 由题意，即， 化简可得，代入①中可得 又，且， ，即， 将代入可得 ， 将其带回原方程可得，即， 若，则，即，所以， 则； 若，即，此时，斜率不存在，故舍去； 综上， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线方程，则下列结论正确的是（ ） A. 该曲线可能表示圆 B. 若，该曲线表示实轴长为的双曲线 C. 若，该曲线表示焦点在轴上的椭圆 D. 若，该曲线表示焦点坐标为的双曲线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据各个选项的取值范围，结合各类曲线的判定规则逐一验证选项. 【详解】选项A：若曲线为圆，需满足，解得，此时方程为，表示圆，A正确； 选项B：当时，表示焦点在轴上的双曲线，实轴长为，B正确； 选项C：当时，，，方程表示椭圆，若焦点在轴上，需满足， 即，所以时并不都满足焦点在轴上的椭圆，C错误； 选项D：当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线， 其中，不是定值，所以焦点坐标不是固定的，D错误. 10. 在棱长为的正方体中，点满足，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球的表面积为 B. 当时，平面 C. 任意，三棱锥的体积是定值 D. 存在，使得与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正方体的外接球即可判断A，由线面垂直的判定定理即可判断B，由等体积法代入计算，即可判断C，由线面角的向量法代入计算，即可判断D. 【详解】 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，． 当时，与重合，四棱锥即为四棱锥， 该几何体的外接球就是棱长为的正方体的外接球， 外接球的直径等于正方体的体对角线长度， ，即半径， 外接球的表面积为，故A正确； 当时，与重合，平面与平面重合， 所以， 可得，， 所以，，又因为，面，面， 所以面，所以平面，所以B正确； 任意，点到平面的距离不变，始终为， ，故C正确； 因为，则，所以， ，且，， 设平面的法向量为， ，令，则， 所以， 设与平面所成的角为， 则， 若，则，即，解得， 又，所以不存在满足条件的，故D错误. 11. 已知曲线，设点为曲线上一点，为坐标原点，则下列选项正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. C. 曲线关于轴对称 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A直接判断；对于B，假设进行求解；对于C，由点的对称求解；对于D，因为，所以，由基本不等式进行求解． 【详解】对于A项，，，故点在曲线上，故A项正确； 对于B项，假设，代入曲线得，， 得，令，得， 判别式，此方程无解，故假设不成立，故，故B项正确； 对于C项，设曲线上任意一点，它关于轴对称的点为，此点显然不满足曲线的方程，故C项错误； 对于D项，因为点为曲线上一点，所以， ， 因为，所以，得， 得，得，等号成立时，，故D项正确． 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个顶点坐标分别为，则边上的中线所在的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得的中点坐标，即可得到直线的斜率，再由点斜式，即可得到结果. 【详解】设的中点为，则，即， 则直线的斜率为， 边上的中线所在的直线方程为，即. 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上的一点，且，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，得到的值，再由，在中，用余弦定理，求出，根据三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】根据椭圆定义，可得，且椭圆的焦距为， 又，在中， 由余弦定理，可得， 所以， 即，所以， 因此的面积是. 故答案为：. 14. 如图，已知平面四边形，沿直线将翻折成，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，可得，利用异面直线所成角的向量公式结合函数的性质即可求出． 【详解】因为， 则，， 则，即， 设直线与所成角为，设是中点，如图，以为轴，为轴， 过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 作于，翻折过程中，始终与垂直，， 则，， 因此可设，则， 与平行的单位向量为， 所以＝， 当时，有最小值， 当时，有最大值， 所以直线与所成角的余弦值的取值范围是. 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆台的下底面圆心为，轴截面为等腰梯形，、分别是上、下底面的直径，且为弧的中点，为母线的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为是下底面圆心，所以为的中点； 又因为为母线的中点， 所以是的中位线，故． 又因为平面平面， 所以平面． （2）1 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 则各点坐标为： ， 则， 设为平面的法向量， 则，得， 取，则，， 又， 故点到平面的距离为：， 所以，点到平面的距离为1. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆及其上一点． （1）过点且倾斜角为的直线与圆的另一个交点为，求的长； （2）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用点到直线距离得出，再应用几何法得出弦长即可； （2）先设点，再应用圆与轴相切得出半径为及，即可求解圆的标准方程. 【小问1详解】 由题意，直线的斜率，其方程为， 整理为一般式：， 圆的方程为， 所以圆心为，半径， ， 所以， 所以弦的长度为． 【小问2详解】 圆，圆心，半径5． 因为圆心在直线上，设， 因为圆与轴相切，所以半径为，圆的方程为． 又圆与圆外切，则， 所以，解得． 故圆的标准方程为． 17. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于、两点． （i）求实数的取值范围； （ii）若，求的值． 【答案】（1） （2）（i）且（ii） 【解析】 【分析】（1）应用渐近线互相垂直得出，再应用点在双曲线上列式计算得出双曲线标准方程； （2）（i）联立直线和双曲线方程结合判别式计算求解参数范围；（ii）应用韦达定理结合数量积坐标公式计算求值. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为， 因为两条渐近线互相垂直，所以，即， 又曲线经过点，所以， 代入，解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由与联立，得， 因为直线与双曲线交于、两点，所以该方程有两个不相等的实根； ①当即时，直线与双曲线只有一个公共点，不符合题意； ②当即时，， 解得， 综上，实数的取值范围是且； （ii）当时，上述方程为， 设，则， 且， 所以 ， 所以． 18. 在三棱柱中，四边形与都是边长为1的正方形，，，，分别是棱上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：因为与都是边长为1的正方形， 所以，又，得、、两两垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 所以， 故，则 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解； （2）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设是平面的一个法向量， 所以，即， 取，得， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得，故． 19. 已知椭圆的右焦点为． （1）若为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，求的最小值； （2）设、分别为椭圆的左、右顶点，过作直线与椭圆交于、两点（与、不重合），设直线与的斜率分别是、，且直线与交点为． （i）证明：是定值； （ii）求重心的横坐标的取值范围． 【答案】（1）； （2） （i）因为椭圆 ， 所以左顶点 ，右顶点 ，右焦点 ， 设过 的直线 ：，， 联立： ， 消去 ：， 整理得：， 由 ，恒成立， 则， 所以直线 斜率 ，直线 斜率 ， 所以，代入 ： 即：， 所以，即：， 所以， 将 代入分式： ， 因为直线与顶点不重合，，舍去， 所以是定值，定值是 . （ii） 【解析】 【分析】（1）先借助椭圆定义把 替换成 ，将 变形为 ，把差的最值转化为两线段和的最值；再结合圆上动点到定点距离的范围，利用三角形两边之和大于第三边、圆上点到定点距离的最值模型分步放缩，找准取等条件，求出最小值； （2）(i)先设直线 与椭圆联立，利用韦达定理得到 ，再写出斜率比值表达式，借助 的关系消去参数 ，最后化简证明求出比值为定值即可；(ii) 在(i)斜率定值的基础上，先求两直线交点 的横坐标，得到定点 ；再利用重心坐标公式：重心横坐标为三点横坐标的平均值，结合韦达定理求出 横坐标之和，写出重心横坐标关于参数 的表达式；最后根据参数 分析分式的值域，得到重心横坐标的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆方程得，故， 令椭圆的左焦点为， 由椭圆的第一定义得，即， 所以， 连接， 在中，由三角形两边之和大于第三边得：， 当且仅当、、三点共线，且落在之间时取等号． 圆的半径为，圆心， 点在圆上，由点与圆的位置关系：， 当且仅当在线段上，且在之间时取等号， 其中 综上所述： 所以的最小值为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）由（i）得，则， 所以解得， 根据（i）中韦达定理得， 由，得， 所以的重心的横坐标为， 因为， 已经排除， 可取全体实数， 则，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，点是圆内一点，若过点A的圆的最短弦所在直线为m，则下列说法正确的是（ ） A. l与圆C相交，且 B. l与圆C相切，且 C. l与圆C相离，且 D. l与圆C相离，且 6. 已知为空间中四点，任意三点都不共线，为平面外一点，，若四点共面，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知直线与的交点的轨迹为曲线，过点作曲线的切线，则切线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知椭圆的上焦点，点在椭圆外，点、在椭圆上，且满足，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线方程，则下列结论正确的是（ ） A. 该曲线可能表示圆 B. 若，该曲线表示实轴长为的双曲线 C. 若，该曲线表示焦点在轴上的椭圆 D. 若，该曲线表示焦点坐标为的双曲线 10. 在棱长为的正方体中，点满足，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球的表面积为 B. 当时，平面 C. 任意，三棱锥的体积是定值 D. 存在，使得与平面所成的角为 11. 已知曲线，设点为曲线上一点，为坐标原点，则下列选项正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. C. 曲线关于轴对称 D. 的最大值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个顶点坐标分别为，则边上的中线所在的直线方程为___________． 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上的一点，且，则的面积是________． 14. 如图，已知平面四边形，沿直线将翻折成，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________． 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆台的下底面圆心为，轴截面为等腰梯形，、分别是上、下底面的直径，且为弧的中点，为母线的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 16. 在平面直角坐标系中，已知圆及其上一点． （1）过点且倾斜角为的直线与圆的另一个交点为，求的长； （2）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 17. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于、两点． （i）求实数的取值范围； （ii）若，求的值． 18. 在三棱柱中，四边形与都是边长为1的正方形，，，，分别是棱上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 19. 已知椭圆的右焦点为． （1）若为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，求的最小值； （2）设、分别为椭圆的左、右顶点，过作直线与椭圆交于、两点（与、不重合），设直线与的斜率分别是、，且直线与交点为． （i）证明：是定值； （ii）求重心的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $