精品解析：浙江省北斗联盟2026-2027学年高二上学期11月期中学科练习数学试题

高二数学学科练习 注意事项： 1.本题共8页，满分100分，考试时间90分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得. 因为的第三个分量为,且,所以存在实数,使. 由第三个分量得,即;再比较第一个分量,得,解得. 把代入第二个分量检验:,与一致;此时,与平行,符合题意,所以. 3. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得. 4. 数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先将这个数据按从小到大的顺序进行排序得， 计算第百分位数位置：. 因为不是整数，取大于的最小整数，对应排序后第个数据，即第百分位数是. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】B 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 因为，， 所以，所以两圆相交. 6. 在校级“青春之声”演讲比赛中，、两名选手晋级决赛.5位专业评委根据演讲内容、语言表达、舞台表现力等维度，分别为两名选手现场打分，打分情况如图：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） 打分 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 6 8 7 5 9 4 5 9 9 8 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，， 则， ， 因此，. 7. 点，，，均在球的表面上，，，，平面平面，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由题设分析可得平面，，进而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求出球的半径，进而结合球的体积公式求解即可. 【详解】取的中点为，连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，， 所以，因此， 因为平面，所以平面， 而平面，所以，则， 即. 在平面内，过作，交于点，所以， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，显然有， 所以有，解得， 所以球的半径为， 所以球的体积为. 8. 设直线关于原点对称的直线为，与椭圆交于、两点，设点为椭圆上一动点，若，则满足条件的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的方程为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用，可得或，设，则，进而解方程组求解即可. 【详解】因为直线关于原点对称的直线为， 所以直线的方程为 联立，解得或， 不妨令，，所以， 又，所以边上的高为， 设，则， 则点到直线的距离为， 即或， 联立，解得或； 联立，解得. 综上所述，满足条件的点的个数为3. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子中仅有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外均相同，从中不放回地依次摸出两个球，记事件为“第一次摸出白球”，事件为“第二次摸出黑球”，事件为“两次摸出不同颜色的球”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】AB 【解析】 【详解】对A，易得.故A正确； 对B，因为，，所以.故B正确； 对C，因为，故与不互斥.故C错误； 对D，因为，，， 所以，所以与不相互独立.故D错误. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 存在直线与圆相切 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 若点在圆上，则的范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程整理为即可求出定点，即可判断；对于B，分析可得点在圆内，进而判断即可；对于C，分析可得时，直线被圆截得的弦长最短，进而分析求解判断即可；对于D，由，而表示点与点之间的距离，进而结合圆的性质求解判断即可. 【详解】对于A，直线，即， 令，解得，则直线必过点，故A正确； 对于B，因为，所以点在圆内， 而直线过点，因此直线与圆相交，故B错误； 对于C，由圆，则圆心，半径， 由于直线过定点，且点在圆内，且， 则时，直线被圆截得的弦长最短， 最短弦长为， 但此时轴，可得出直线的斜率不存在，不符合题意， 因此直线被圆截得的最短弦长不为，故C错误； 对于D，由， 而表示点与点之间的距离， 而点在圆上，且， 则，则， 即， 则的范围为，故D正确. 11. 在正方体中，正方体棱长为1，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在点，使得 C. 若，则 D. 若是的中点，，与面所成角分别为，，则满足的点所在区域的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，在线段上，利用等体积法结合棱锥的体积公式分析即可判断；建立空间直角坐标系，利用空间向量分析求解BD；对于C，分析可得是在面的射影，进而结合，可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，进而求解判断即可. 【详解】对于A，当时，，则在线段上， 由， 由于，则为定值，则三棱锥的体积为定值，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 则，，，即， 对于B，当时，，， 则，， 所以， 因此，不存在点，使得，故B错误； 对于C，因为平面，所以是在面的射影， 由于，则， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆弧， 又，且， 所以，故C正确； 对于D，过作于，连接，则是的中点， 因为，所以， 因为，所以， 若，则，即， 又，，此时的轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 则时，在以为圆心，为半径的半圆以外，且在正方形内（包含边界）， 则点所在区域的面积为，故D错误. 非选择题部分 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆，则该椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由已知得：椭圆长半轴，短半轴， 可得：半焦距， 可求得：离心率. 13. 已知直线，并且直线不经过第三象限，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】直线可化为， 当时，直线为，此时不经过第三象限，符合题意； 当时，由，解得. 综上所述，的取值范围是. 14. 已知圆和，动圆与圆，圆均相切，是的内心，且，则的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出两定圆圆心距，再由动圆与圆，圆均相切求得.利用三角形内心面积性质转化条件得到，两式联立即可解得的值. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 且，故圆内含于圆. 当动圆与圆外切，与圆内切时. 设动圆半径为，所以，两式相加得. 设内切圆半径为，因为是的内心，故到边的距离等于， 因此，， 又因为，所以， 即，化简得， 联立，解得. 当动圆与圆内切，与圆也内切，即圆内含于动圆，动圆内含于圆. 设动圆半径为，所以，两式相加得. 联立，解得. 综上所述，解得或. 四.解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，， （1）求点到直线的距离； （2）求过点且与轴和轴上的截距和为0的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可； （2）分截距不为0、为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由，，得直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 当截距均不为0时，设所求直线方程为，， 将代入，得，即， 则所求直线方程为，即； 当截距都为0时，所求直线过原点，设直线方程为， 代入，得，所以， 则所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 16. 如图所示，直三棱柱中，，，棱，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与的余弦值. 【答案】（1）法一：以为原点，，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， ，，即. 法二：由， ， 则 ， 即. 法三：，为中点，， 在直三棱柱 中，平面， 又平面 ，， 又，平面，平面， 平面， 又平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求证即可； 法二：根据空间向量的线性运算先得到，，再根据空间向量数量积的运算律及定义求证即可； 法三：先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）结合线线角的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）法一知，，， ，，， ， 则异面直线与的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，设圆的圆心为. （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若过点的直线与圆相交于不同的两点，，求当面积最大时，直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或 【解析】 【分析】（1）分切线斜率不存在、存在两种情况讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求解即可； （2）分析可得时，面积最大，此时圆心到直线的距离为1，进而求解即可. 【小问1详解】 由圆，即， 则圆心坐标为，半径为， 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，等于半径，因此符合题意； 当所求直线的斜率存在时，设直线方程为， 则，解得，即所求直线方程为. 综上所述，所求的直线方程为或. 【小问2详解】 因为，所以点在圆外， 设圆心到直线的距离为， 而， 当时，即时，面积最大， 此时，解得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，已知，点是线段上的一个动点. （1）当点是线段上的中点，求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求此时的值. 【答案】（1）法一：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为的中点. 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 法二：以为原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，设， 由于，则，而， 则，解得，即， 因为是的中点，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，则， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：连接，交于点，连接，可证明，进而结合线面平行的判定定理求证即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出，，利用空间向量证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求出，再根据线面角的空间向量公式求解即可； 法二：取中点，连接，在底面内过作，交于，连接，先求得，二面角的平面角，可得四棱锥的高为，再利用等体积法求出点到平面的距离，进而求解即可； （3）利用面面角的空间向量公式列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，设， 由于，则，而， 则，解得，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 法二：取中点，连接，则，且. 在底面内过作，交于，连接， 则即为二面角的平面角， 由已知，，易得，为中点， 则，即，， 在中，由余弦定理得，则， 所以四棱锥的高， 又，则，而， 设点到平面的距离为， 由.，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 【小问3详解】 设，由于， 则，则， 则，而， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 易得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则，即， 解得（舍去），则. 19. 已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称. （1）当时，求、两点的中点坐标； （2）求实数的取值范围； （3）若直线与椭圆交于、两点，问是否存在使得、、、四点共圆，若存在，请写出圆方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设，，中点为，利用点差法得到，再结合时，点、关于直线对称，可得，进而得到，再结合点在直线上，列方程求解即可； （2）由（1）可得，进而得到，结合点在椭圆内列不等式求解即可； （2）法一：由、、、四点共圆，则为圆心，可得，表示出关系式，求解即可；法二：由、、、四点共圆，可设圆的方程为，整理为一般形式，结合圆方程的特点求解即可. 【小问1详解】 设，，中点为， 则，两式相减得， 则， 当时，点、关于直线对称，则， 即，则， 又因为点在直线上，则，解得， 所以、两点的中点坐标为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 因为点在直线上，所以，解得， 由点在椭圆内，得，解得或， 则实数的取值范围为. 【小问3详解】 法一：由（2）知，直线的方程为， 而直线的方程为，设中点为，， 若、、、四点共圆，则为圆心，即， 联立，整理可得， 则，，则， 则 ， 即， 联立， 整理得， 则，即， 所以 ， 则， 而， 由， 则，解得， 则圆方程为. 法二：由（2）知，直线的方程为， 而直线的方程为，设中点为， 若、、、四点共圆， 设圆的方程为， 化简得， 因为上式为圆方程，所以与的系数相等，无项， 则，即， 所以圆方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 注意事项： 1.本题共8页，满分100分，考试时间90分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. -2 D. 2 3. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 6. 在校级“青春之声”演讲比赛中，、两名选手晋级决赛.5位专业评委根据演讲内容、语言表达、舞台表现力等维度，分别为两名选手现场打分，打分情况如图：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） 打分 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 6 8 7 5 9 4 5 9 9 8 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 点，，，均在球的表面上，，，，平面平面，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线关于原点对称的直线为，与椭圆交于、两点，设点为椭圆上一动点，若，则满足条件的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子中仅有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外均相同，从中不放回地依次摸出两个球，记事件为“第一次摸出白球”，事件为“第二次摸出黑球”，事件为“两次摸出不同颜色的球”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 存在直线与圆相切 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 若点在圆上，则的范围为 11. 在正方体中，正方体棱长为1，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在点，使得 C. 若，则 D. 若是的中点，，与面所成角分别为，，则满足的点所在区域的面积为 非选择题部分 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆，则该椭圆的离心率是__________. 13. 已知直线，并且直线不经过第三象限，则的取值范围是__________. 14. 已知圆和，动圆与圆，圆均相切，是的内心，且，则的值为__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，， （1）求点到直线的距离； （2）求过点且与轴和轴上的截距和为0的直线方程. 16. 如图所示，直三棱柱中，，，棱，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，设圆的圆心为. （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若过点的直线与圆相交于不同的两点，，求当面积最大时，直线的方程. 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，已知，点是线段上的一个动点. （1）当点是线段上的中点，求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求此时的值. 19. 已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称. （1）当时，求、两点的中点坐标； （2）求实数的取值范围； （3）若直线与椭圆交于、两点，问是否存在使得、、、四点共圆，若存在，请写出圆方程，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $