精品解析：河南省洛阳市2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 得，即， 所以．又， 所以． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由有意义，可得，解得， 则的定义域为． 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 4. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 【答案】A 【解析】 【详解】因为，当时，，所以命题为真命题； 当时，解得，此取值范围中无自然数， 故命题为假命题，则为真命题. 5. 已知幂函数，若在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为为幂函数，所以 ，解得或 . 又因为在上单调递增，故 ，解得，故，故. 所以 . 6. 已知集合，，其中，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】举例说明充分性不成立，分情况讨论必要性是否成立即可. 【详解】先看充分性：当，时，； 当，时，. 此时满足，但不成立，所以“”不是“”的充分条件. 再看必要性：若，且，则会出现以下两种情况： ①若，则，，，由； ②若，则，，，由. 所以“”是“”的充分条件，所以“”是“”的必要条件. 综上可得，“”是“”的必要不充分条件. 7. 已知，且，函数对任意，，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递减，再列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，且，都有成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 解得，所以实数的取值范围是. 8. 某班35名同学参加，，三个兴趣班，具体情况如下：每位同学至少参加一个兴趣班，在不参加班的学生中，参加班的人数是参加班的人数的3倍；在参加班的学生中，只参加班的人数比除了参加班外，同时还参加其他班的人数多3；在只参加一个兴趣班的人中，有一半参加班，则只参加班的学生人数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】通过设出只参加班的人数和只同时参加了和班的人数，表达出参加不同班的人数，通过班级的总人数即可求出只参加班的人数． 【详解】设只参加班的人数为， 则参加班还参加其它班的人数为 (图中的和 )， ∵只参加一个兴趣班的人中， 有一半没参加或班， ∴只参加了班和只参加班的人数和为 (图中部分) ， 假设只同时参加了和班的人数为， ∴,，即， 则的取值可能是， 与之对应的值为， ∵没参加班的人数中，参加班的人数是参加班的人数的3倍， ∴，即， ∴时满足题意，此时， ∴只参加班的学生人数为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用不等式性质逐一判断A、B；选项C通过比较分母大小判断；选项D用作差法比较分式大小，最终ABD成立． 【详解】对于A、已知，则，A选项正确； 对于B、因为， 所以， 又， 所以，即，B选项正确； 对于C、因为， 所以， 则， 所以，又， 所以，C选项错误； 对于D、， 已知， 则，，， 所以，即， 所以，D选项正确． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数（，且）的图象恒过定点 B. 函数（）的单调递减区间为 C. 若是一次函数，且，则或 D. 若函数的定义域为，则的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用得到定点即可；对于B，由复合函数的单调性求单调区间即可；对于C，利用待定系数法求解；对于D，根据抽象函数定义域的求法求解． 【详解】对于A，令，解得，， 则函数（，且）的图象恒过定点，故A错误，符合题意； 对于B，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则函数（）的单调递减区间为，故B正确，不符合题意； 对于C，设， 则， ，解得或， 则或，故C正确，不符合题意； 对于D，函数的定义域为， ， 则的定义域为，故D错误，符合题意． 11. 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，，（），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】方程的实根个数即为函数的图象与直线的交点个数.先化简时的解析式并作出图象,再由根的个数确定的范围,逐项判断. 【详解】当时,， 当时,在上单调递增,且. 当时,在上单调递减,在上单调递增. 且,右支无限接近于但不等于,其图象如图所示. 对于A,直线与的图象有三个不同交点,必须且只需,故A正确. 对于B,此时,由得. 因为,所以,左端点取不到,故B错误. 对于C,由及,得. 即,所以,故C正确. 对于D,由得,又,. 于是.令,则,且. 函数在上单调递增. 当无限接近时无限接近. 当无限接近时可取得任意小的值,故其取值范围为,D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为,所以. 因为,所以;又. 所以. 因为,所以. 原式. 13. 已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用奇偶函数性质列出两个等式，联立解出的表达式，代入算出． 【详解】解：因为为奇函数， 所以，即， 整理得． 因为为偶函数， 所以，即， 整理得． 联立， 两式相加可得，即， 则． 14. 已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，移项得，设， 则， 令，故，即. 因为该方程存在实数根，故. 解得或，而，故， 当时，满足，故存在实数取到该值. 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，可得，再根据并集的定义求解即可； （2）由，得，再根据包含关系求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，，则或， 所以或. 【小问2详解】 由，得， 而，， 则，解得， 则实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分析出和4是方程的两根，再根据根与系数的关系列方程求解即可； （2）由题意分析出的图象开口向上且与轴至多有一个交点，再列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意，和4是关于的方程的两根，且， 由根与系数的关系可得，， 解得，； 【小问2详解】 由可得， 因为不等式的解集为， 所以，且的图象开口向上且与轴至多有一个交点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知某工厂生产某种仪器全年需投入固定成本100万元，年最大产能为200台，若全年生产台该仪器，则需另外投入成本万元，且由市场调研知，该仪器每台的售价为30万元，且全年内生产的仪器当年能全部销售完. （1）请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式； （2）当年产量为多少台时，该厂所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）140；850万元 【解析】 【分析】（1）根据投入成本，写出年利润的函数解析式即可； （2）分别求出年利润在各段的最大值，再比较即可得解. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 所以； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，所以. 因为，所以当时，取得最大值， 所以当年产量为140台时，该厂所获年利润最大，最大年利润是850万元. 18. 已知函数（，且）的定义域为，且的图象关于原点对称. （1）求实数，的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增. 证明如下：由（1）知函数， 任取，，且， 则， 因为，所以，，， 则，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，，进而代值计算即可； （2）根据函数单调性的定义求证即可； （3）先转化问题为，恒成立，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，是定义在上的奇函数，所以， 所以，则， 又，解得， 所以，， 则， 所以是定义在上的奇函数，符合题意，故，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由的奇偶性及， 得， 由的单调性，得， 即，恒成立， 由，得， 当时，，则，即； 由，得， 当时，，则； 由，得， 当时，，则. 综上所述，，则实数的取值范围为. 19. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）设函数的最小值为，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）（） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求出函数的解析式即可； （2）将写成分段函数，根据与和的关系分三种情况讨论，并分别求出在各段的最小值，即可求出函数的解析式； （3）令，根据题意，转化为在上的值域是在上的值域的子集，进而转化为在上恒成立，再利用基本不等式求出在上的最小值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 令，则. 因为，所以， 所以（）. 【小问2详解】 由题意， ①若， 当时，，在上单调递增，此时； 当时，，在上单调递减，此时， 所以当时，的最小值为，即. ②若， 当时，，在上单调递增，此时； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 此时. 又，所以， 所以当时，的最小值为，即. ③若， 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，，在上单调递减，此时. 又，所以， 所以当时，的最小值为，即. 综上，. 【小问3详解】 令， 由题意可知在上的值域是在上的值域的子集， 由（2）易知的值域为， 所以当时，恒成立，即①恒成立， 当时，得，显然恒成立， 当时，，①可化为恒成立， 所以， 又 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 5. 已知幂函数，若在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，其中，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，且，函数对任意，，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某班35名同学参加，，三个兴趣班，具体情况如下：每位同学至少参加一个兴趣班，在不参加班的学生中，参加班的人数是参加班的人数的3倍；在参加班的学生中，只参加班的人数比除了参加班外，同时还参加其他班的人数多3；在只参加一个兴趣班的人中，有一半参加班，则只参加班的学生人数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数（，且）的图象恒过定点 B. 函数（）的单调递减区间为 C. 若是一次函数，且，则或 D. 若函数的定义域为，则的定义域为 11. 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，，（），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 13. 已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则__________． 14. 已知，，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （2）若，关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 17. 已知某工厂生产某种仪器全年需投入固定成本100万元，年最大产能为200台，若全年生产台该仪器，则需另外投入成本万元，且由市场调研知，该仪器每台的售价为30万元，且全年内生产的仪器当年能全部销售完. （1）请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式； （2）当年产量为多少台时，该厂所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数（，且）的定义域为，且的图象关于原点对称. （1）求实数，的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）设函数的最小值为，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $