精品解析：宁夏回族自治区银川市第九中学2026-2027学年高三上学期第三次月考数学试题

银川九中2026-2027学年度第一学期第三次月考 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 ，所以，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别化简集合与集合，再根据交集的定义求解两集合的公共元素即可. 【详解】 由，得，解得或，因此，又，所以. 3. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，则m， 在中，m. 4. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 5. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，即， 因为在上单调递减，且，所以，即，所以. 6. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线定理和三角形的中线求出和的关系，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 7. 底与腰的比等于的等腰三角形叫作黄金三角形．已知黄金三角形的顶角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干所给提示，底与腰的比等于的等腰三角形顶角为，可计算知两底角为，可利用直角三角形计算所求角度的正余弦值． 【详解】如图，在中，，作为垂足，则． 设为黄金三角形，． ． ． 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即， 此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（   ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若、的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的模长公式可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；分析可知且、不共线，结合平面向量的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义结合平面向量的坐标计算可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，，则， 故，故A正确； 对于B选项，若，则，解得或，故B正确； 对于C选项，若、的夹角为钝角，则，解得， 且、不共线，所以，解得， 故实数的取值范围是，故C错误； 对于D选项，若，则，， 此时在上的投影向量为，故D正确. 10. 下列说法正确的有（    ） A. 若随机变量，，则 B. 数据的第百分位数是5 C. 已知，，若，则 D. 已知随机事件与相互独立，且，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合二项分布期望公式、百分位数计算、条件概率与事件独立性、独立事件和事件概率运算的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，根据二项分布的性质，若随机变量，，则，故A正确； 对于B，数据的个数为，则，所以第百分位数是，故B错误； 对于C，根据条件概率公式，，若，则， 所以，故C正确； 对于D，已知随机事件与相互独立，且，，所以， 则，故D错误. 11. 若函数，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期是π B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向左平移个单位后关于对称 D. 若圆C的半径为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，由图象可得，进而得到的最小正周期；对于B选项，求出，，从而得到，判断出函数不单调；对于C选项，求出平移后的解析式，得到当时，，从而可得对称性；对于D选项，由圆的半径求出，进而代入解析式，求出，得到答案. 【详解】对于A选项，由图象可知，关于点中心对称， 故，设的最小正周期为，则， 解得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 故，将代入解析式得，， 因为，所以， 故，解得，故， 当时，， 因为在上不单调， 故在上不单调，故B错误； 对于C选项，函数的图象向左平移个单位后， 得到， 当时，，故关于对称，故C正确； 对于D选项，圆C的半径为，由勾股定理得， 故，将其代入中，得， 解得，故，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列中，若，，则公差d=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本量法结合等差数列性质求解即可. 【详解】等差数列中， 由，所以，解得. 由，所以，解得， 所以. 13. 已知向量与，且，其中．则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列式，再结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 由， 所以. 14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，作出函数的图象，令，则函数在区间上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】令，由可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知直线与函数图象的交点个数分别为、、、， 因为关于的方程有个不同的实数根， 令，则函数在区间上有两个不等的零点、， 所以，解得. 故实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和公式为， （1）写出数列的前3项：； （2）求出的通项公式 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， ， 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 又符合上式，所以. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）求函数的单调递增区间； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，； （2）单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式以及二倍角公式将化简为. （1）小问运用最小正周期的公式以及对称中心的公式计算即可； （2）小问令，解出的范围即可； （3）小问经过平移和伸缩变换得到，代入，计算即可. 【小问1详解】 ， ， ， 最小正周期， 令，，解得，， 此时，故的对称中心为，. 【小问2详解】 令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度得， ， 将横坐标伸长到原来的2倍得， ， 则. 17. 小陈进行射击练习，他射击次，每次射击的命中率均为，且每次射击命中与否相互独立． （1）设，，求小陈命中次数的数学期望与方差． （2）设，当在上变化时，小陈恰好命中2次的概率记为，求函数的解析式并求出当p为何值时小陈恰好命中2次的概率最大？并求出最大值 【答案】（1）数学期望为，方差为； （2），， 【解析】 【小问1详解】 设射击命中次数为随机变量，由题意知， 已知， 则，． 【小问2详解】 时，恰好命中2次的概率为； 得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故时，取得最大值：. 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】（1） （2）函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川九中2026-2027学年度第一学期第三次月考 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 6. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 底与腰的比等于的等腰三角形叫作黄金三角形．已知黄金三角形的顶角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（   ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若、的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 若，则在上的投影向量为 10. 下列说法正确的有（    ） A. 若随机变量，，则 B. 数据的第百分位数是5 C. 已知，，若，则 D. 已知随机事件与相互独立，且，，则 11. 若函数，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期是π B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向左平移个单位后关于对称 D. 若圆C的半径为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列中，若，，则公差d=______. 13. 已知向量与，且，其中．则______． 14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和公式为， （1）写出数列的前3项：； （2）求出的通项公式 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）求函数的单调递增区间； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 17. 小陈进行射击练习，他射击次，每次射击的命中率均为，且每次射击命中与否相互独立． （1）设，，求小陈命中次数的数学期望与方差． （2）设，当在上变化时，小陈恰好命中2次的概率记为，求函数的解析式并求出当p为何值时小陈恰好命中2次的概率最大？并求出最大值 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $