精品解析：宁夏回族自治区银川一中2026-2027学年高三上学期第三次月考数学试卷

银川一中2027届高三年级第三次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域，结合交集的运算法则，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 2. 定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】B 【解析】 【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断. 【详解】 做出容器的轴截面，如图所示， 则，，， 则为中点， 则，， 由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积， 则降雨高度为， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 3. 已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解. 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 4. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值. 【详解】 ， 所以，所以， 所以， . 故选：D. 5. 设等比数列的前项和为，若，，，则（ ） A. 315 B. 155 C. 120 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再将化简求值即可. 【详解】由题知：， 又因为，所以. 因为，所以. . 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的前项和，同时考查等比数列的性质，属于中档题. 6. 函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，讨论函数在不同区间内的单调性. 【详解】 在上单调增，在上单调减. 【点睛】此题考查正切函数的性质及数形结合的思想. 7. 设函数，令，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据指对数运算性质比较自变量的大小，利用函数的单调性，即可比较函数值大小， 【详解】，因为的定义域为， 且，所以是偶函数， 令，因在上单调递增， 又，当时，，即在上单调递增， 由复合函数的单调性知在上单调递增. 又，，， 因， 由，可得， 即，故可得，即． 故选：C． 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式，诱导公式，两角和的余弦公式分析即可. 【详解】因为， 所以由得：， 又因为，所以， 所以有：， 即，也即， 又，所以， 所以， 当时，则， 当时，则， 又，所以此时不存在， 故， 又，所以，所以， 当时，. 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【解析】 【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可. 【详解】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 11. 如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，底面边长为，侧棱长为，则下列说法正确的有（ ） A. 若底面边长，则侧棱长 B. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 C. 若侧棱长，则过中点的平面截球，截面积的最小值为 D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由球的表面积求出半径,利用正三棱柱外接球球心为上、下底面外心连线的中点,得到,与球半径的关系式,再逐项判断:A,B项代入关系式求值;C项当截面垂直于球心与点的连线时截面积最小;D项用基本不等式求侧面积的最大值. 【详解】设球的半径为,由得. 设上、下底面的外心分别为,,则球心为的中点,且. 底面正三角形的外接圆半径,由得. 对于A，当时,,解得,A正确. 对于B，当时,,解得. 底面积,体积,不等于,B错误. 对于C，当,时,,,其中为上底面的外心. 到中点的距离等于上底面正三角形内切圆半径. 因为上底面,所以,则. 设过点的截面圆的圆心到的距离为,则,截面圆半径的平方为. 当且仅当与截面垂直时取等号,所以截面积的最小值为,C正确. 对于D，侧面积,由及基本不等式得. 所以,当且仅当,即,时取等号. 因此侧面积的最大值为,D正确. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复平面内点的坐标得到复数z，再根据复数的除法法则计算即可. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以复数， 所以. 故答案为： 13. “”是“”成立的______条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要） 【答案】充要 【解析】 【详解】设“”为命题，不等式解集为， “”为命题，不等式解集为， 解得， 要求的解集，即求，即的解集， 解得， 则，所以“” 是“” 成立的充分必要条件． 14. 数列：，，则______. 【答案】990 【解析】 【分析】分奇偶对n讨论，再分组后利用等差数列求和公式得解. 【详解】当为奇数时，，，则， 当为偶数时，，， 两式相加得， 则 ， 故答案为：990 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. （1）若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； （2）若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】（1）0.85 （2） 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【小问1详解】 设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. 【小问2详解】 由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 16. 在中，角所对的边分别， ．函数的图象关于点对称，． （1）求角B的大小； （2）若是的中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，由对称性得，代入解方程求； （2）结合余弦定理得，在中表示，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，且关于对称， 所以. 化简得，即. 因为，故. 【小问2详解】 由， 又由余弦定理， 联立解得. 在中，， 由余弦定理得. 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 17. 如图，四边形中，． （1）求； （2）为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在和中，利用余弦定理，分别求得的表达式，两式作差求得，即可求解； （2）由（1）求得，利用余弦定理求得，结合题意，求得，进而求得，再在和中，求得，进而得到，得到，利用正弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． 【小问2详解】 解：因为 由（1）知，可得，且， 则所以， 在中，可得，所以， 在中，可得， 在中，可得， 可得,所以，则， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得， 所以的外接圆半径为． 18. 已知数列满足． （1）证明：求的值，并证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求证：． 【答案】（1） ，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2） （3） 因为 ， 所以 ，即命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； 【小问3详解】 略 19. 已知函数， （1）讨论的单调性； （2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式． （3）在（2）的条件下，证明： 【答案】（1）①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）证明:构造， ，故在上单调递减，故 故当时，， 故， 则，，……， 将上式累加，得 ， 故， 故. 【解析】 【分析】（1）利用导数分成，，三种情况讨论函数的单调性； （2）根据所给的规则求出切点为的切线方程，再进一步求得，结合等比数列的定义得出结果； （3）当时，先证明成立，得出，再结合等比数列求和得出结果. 【小问1详解】 ①若，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ②若，则，则在R上单调递增， ③若，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，，，切点，切线斜率：， 故切线方程为：， 联立得：， 化简得：， 因式分解得：． 故 上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故， ，则是以为首项，以为公比的等比数列, 故，故. 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数证明数列不等式问题方法点睛： 常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2027届高三年级第三次月考 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 3. 已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，若，，，则（ ） A. 315 B. 155 C. 120 D. 80 6. 函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，令，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 11. 如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，底面边长为，侧棱长为，则下列说法正确的有（ ） A. 若底面边长，则侧棱长 B. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 C. 若侧棱长，则过中点的平面截球，截面积的最小值为 D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________. 13. “”是“”成立的______条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要） 14. 数列：，，则______. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. （1）若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； （2）若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 16. 在中，角所对的边分别， ．函数的图象关于点对称，． （1）求角B的大小； （2）若是的中点，求的最小值． 17. 如图，四边形中，． （1）求； （2）为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 18. 已知数列满足． （1）证明：求的值，并证明数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求证：． 19. 已知函数， （1）讨论的单调性； （2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式． （3）在（2）的条件下，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $