精品解析：宁夏固原市第二中学2026-2027学年高三上学期第二次统测数学试题

固原二中2026—2027学年高三年级第二次统测 数 学 试 卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则，故． 3. 对于，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】充分性： ，举例，但是，，所以，充分性不成立. 必要性： ，举例但是，所以必要性也不成立， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可知，由余弦函数的性质可知，即可得答案. 【详解】因为， 所以； 又因为， ， 所以 所以 5. 在的展开式中，第5项的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. 240 D. 192 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项为， 则第5项的系数为. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 已知，，，则的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数定义域判断A，应用分数指数幂化简判断B，应用对数函数定义域结合一元二次不等式判断C，应用基本不等式计算判断D. 【详解】A选项：当时无意义，故A错误； B选项：当时等于，故B错误； C选项：函数满足， 所以函数的定义域为，在上无定义，故C错误； D选项：由得，化简得， 当且仅当时取等号，最小值为，故D正确； 7. 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据该函数为偶函数，补全函数在定义域上的图象，确定不等式的定义域，再根据不等式相乘大于等于零，进行分类讨论，求出最终的解集. 【详解】解：由题意可得，是定义在上的偶函数，图象如下图所示： 要使，则或， 由图象可得， 当时，， 当时，①或②， 解①可得，②的解集为空集， 综上所述，的解集为. 8. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到元每股，则的最小值为（ ）（参考数据: ，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使的值最小，所以每个交易日都涨停，进而可得不等式，再通过取对数法解指数不等式可得. 【详解】要使的值最小，所以每个交易日都涨停，每次涨停后股价变为前一日的​倍， 因此个交易日后的股价为，所以， 化简整理得，两边取常用对数，， 所以 由是正整数，因此最小的为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可. 【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为， 新数据为， 则新数据的极差为， 因此新数据与原数据的极差相同，故A正确； 原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确； 原数据的方差为， 新数据的方差为， ， 则新数据与原数据的方差相同，故C错误； 不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数， 新数据为，则新数据的中位数为2， 则新数据与原数据的中位数不同，故D错误. 故选：AB 10. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，判断出函数为偶函数，故只需研究函数在上的图象即可，分、及，结合导数判断函数的趋势，并找到对应的选项即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数， 当时，, 当时，，此时函数位于轴下方； 且， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，当时，， 又因为函数为偶函数，所以当时，函数也位于轴下方， 此时函数的图象形如D; 当时，, 易知此时的图象形如A选项； 当时，因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增， 且， 此时函数的图象形如C. 综上，函数的图象在上不可能像选项B那样单调递增，故B不满足. 11. 已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可得，即可判断A；结合，可得，即可判断B；根据函数在上的解析式，可得函数在此区间上单调递增，结合偶函数的性质及函数周期为4，可得在上单调递减，即可判断C；求得，由，求出其值即可判断D. 【详解】因为，， 所以， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 又因为， 所以， 令， 则有， 即， 所以是偶函数，故B正确； 因为是偶函数，， 所以， 即， 所以函数是周期函数，4为其一个周期， 又因为当时，， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C错误； 因为，所以， 又因为，所以， ，所以， ， 所以， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 【答案】## 【解析】 【分析】先列举出从个数中任取两个不同数的全部基本事件，再找出两数同奇或同偶（和为偶数）的事件个数，由古典概型公式求出概率． 【详解】从中随机取两个不同的数有，，，，，，，，，，共种情况， 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 所以所求的概率为． 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合二次函数单调性列式计算参数求解. 【详解】左段二次函数在上单调递增，其对称轴为，故，解得； 分段点处左段函数值不大于右段函数在该点的临界值，即，解得. 综上，的取值范围是 14. 已知正实数，满足和，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，计算，令，则，结合得到，令，得到，从而得，构造函数，通过导数法得到的单调性，利用单调性得到，通过计算得到的值. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 将代入得 ，解得， 又令 ，， 将代入得，解得， ，在上恒成立， 则在上是单调递增函数， 因为，， 所以，即 ， 因为在上是单调递增函数， 所以， 则，而， 则， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）是否存在实数使得，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由； （2）作出函数的图象；并写出当恰有两个实数根时的取值范围． 【答案】（1）由于， 当时，，解得或（矛盾），不合题意； 当时，，矛盾 综上，不存在实数使得； （2）； 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图象可知，当恰有两个实数根时的取值范围为. 16. 设函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据二次函数的性质，由函数在区间上单调递增可得对称轴与区间的位置关系，进而可得实数的取值范围； （2）直接分三类情况：、、，再结合函数的单调性可得函数的最小值，进而可得的值. 【小问1详解】 因为函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增. 若函数在上单调递增，则， 所以，即. 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 二次函数的对称轴为， ①若，则在上单调递减，， 所以，得，符合题意； ②若，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，得，不符合，舍去； ③若，则在上单调递增， ，矛盾； 综上可知，. 17. 为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 90 30 120 未坚持参加课后体育锻炼 20 60 80 合计 110 90 200 （1）用频率估计概率，从200名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关 【解析】 【小问1详解】 由列联表可知，事件=“坚持参加课后体育锻炼”，120， 事件=“坚持参加课后体育锻炼且心理抗压能力显著提升”,90， 用频率估计概率，根据条件概率公式，得； 【小问2详解】 零假设 ：高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关， 取，代入卡方检验公式， 先计算分子核心项，代入得， 已知 对应的临界值为 10.828 ， 由于 ， 即依据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立，能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关. 18. 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断的奇偶性； （2）求证：； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）是奇函数 （2）由题意知， 所以，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义求证； （2）利用对数的运算法则化简； （3）先说明函数的单调性，再利用即可求解. 【小问1详解】 由得，的定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得，则的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 由得， 则不等式可化为， 所以，得. 所以，不等式的解集为. 19. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1）或． （2） （3）． 【解析】 【分析】(1)根据题中新定义，代入函数解析式，列出对应不等式，解不等式求出集合； (2)结合二次函数图像与性质，由可知是函数最小值，利用二次函数对称轴列式求解参数； (3) 把集合包含关系转化为函数单调性条件，得到函数单调不减，借助导数研究含参函数恒成立问题，求出参数取值范围. 【小问1详解】 由，得，根据定义得到， 解不等式，解得或，所以或. 【小问2详解】 由，得， 而等价于对任意，都有，即是二次函数的最小值点， 而二次函数对称轴为，因此，解得． 验证：当时，，， 可得恒成立，符合题意，故. 【小问3详解】 由题意得对任意，都有． 可转化为若，则必有， 得到该条件等价于函数在上单调递增， 令，则， 可得对恒成立． 若：当时，，不满足恒成立要求， 若：对任意恒成立，符合题意． 若，令，则． 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 可得． 要求恒成立，即，得到， 化简得，因为，所以，解得． 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原二中2026—2027学年高三年级第二次统测 数 学 试 卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，第5项的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. 240 D. 192 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 已知，，，则的最小值为 7. 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为，已知某支股票的当前价格为元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到元每股，则的最小值为（ ）（参考数据: ，） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 10. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________. 14. 已知正实数，满足和，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）是否存在实数使得，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由； （2）作出函数的图象；并写出当恰有两个实数根时的取值范围． 16. 设函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，的最小值为，求的值. 17. 为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 90 30 120 未坚持参加课后体育锻炼 20 60 80 合计 110 90 200 （1）用频率估计概率，从200名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断的奇偶性； （2）求证：； （3）求不等式的解集． 19. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $