精品解析：浙江省宁波市北仑中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学（1班）试题

北仑中学2025学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （1班使用） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（ ） A. 至少有1个先进班级 B. 有1个或2个先进班级 C. 有2个或3个先进班级 D. 恰有2个先进班级 2. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 1139 B. 1140 C. 1329 D. 1330 3. 某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ） A. 480种 B. 444种 C. 408种 D. 360种 5. 如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 则（ ） A. B. C. D. 10. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与函数的图象相切，则__________. 13. 某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做______次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 14. 如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）当，求在区间上的最大值； （2）讨论的单调性． 16. 已知的展开式中有一项是． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 17. 某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． （1）现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； （2）若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 18. 已知函数无零点，且有两个不同的极值点. （1）求a的取值范围； （2）求的取值范围. 19. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. （1）若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. （2）若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑中学2025学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （1班使用） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（ ） A. 至少有1个先进班级 B. 有1个或2个先进班级 C. 有2个或3个先进班级 D. 恰有2个先进班级 【答案】B 【解析】 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 2. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 1139 B. 1140 C. 1329 D. 1330 【答案】C 【解析】 【分析】由的展开通项为，在展开式中含项的系数分别为 、、，根据组合式求和即可. 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 3. 某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两支较强的球队被分在不同组的分法，在求出总的分法，根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，两支较强的球队被分在不同组的分法有种，所有的分法有种， 结合古典概型概率计算公式可得所求概率为. 故选:C. 4. 某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（ ） A. 480种 B. 444种 C. 408种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 5. 如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，通过计算条件概率即可. 【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 6. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性得，，根据已知将问题化为在恒成立，应用换元法及导数研究右侧的单调性求右侧的范围，即可得. 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②，解得，， 所以不等式，可化为， 因为，所以， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又在上是增函数，所以，则， 因为在恒成立，所以， 所以正实数a的取值范围是. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ① ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 10. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式、条件概率概率公式和全概率公式逐项判断即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，故A正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD 11. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据加成函数的定义，判断出为增函数，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，得， 若为加成函数，则函数为上的增函数. 设，，则， 所以不是增函数，A错误. 若是加成函数，则是增函数，则也是增函数， 所以是加成函数，B正确. 设，，则， 因为，，所以， 又，所以，则，则为增函数， 所以是加成函数，C正确. 取，则，所以不是加成函数， 但，则是加成函数，D错误. 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与函数的图象相切，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义结合切点在直线与函数的图象上，列式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则， 则， 故答案为：1 13. 某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做______次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性以及参考数据得出对应不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】由题可得，即， 而，所以． 又因为，所以， 所以，即， 解得，故至少需做次实验． 故答案为： 14. 如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据分类和分步计数原理，计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况，再结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有种； 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种， 8个车位停入4辆车的试验共有种情况， 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）当，求在区间上的最大值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）6 （2） 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性和端点值可得； （2）求导后分、、三种情况讨论可得. 【小问1详解】 当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. 【小问2详解】 因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上， 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 16. 已知的展开式中有一项是． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）11； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式写出展开式的通项，结合已知项列方程求参数值； （2）由二项式性质确定二项式系数最大项，利用展开式写出对应项； （3）由（2）项系数为，作商法比较大小确定最大系数，即可得. 【小问1详解】 的展开式的通项． 由题意，解得，，，故的值是11． 【小问2详解】 由二项式系数的性质知，的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项，其值分别为： ， ． 【小问3详解】 的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大，且. 17. 某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． （1）现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； （2）若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . 【小问2详解】 若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 18. 已知函数无零点，且有两个不同的极值点. （1）求a的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点，由时满足题意， 故a的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 19. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. （1）若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. （2）若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 【答案】（1） 0 1 2 3 . （2） 【解析】 【分析】（1）先根据古典概型概率公式求出点数之和为4的倍数的概率，根据独立事件的概率乘法公式求出取各值时的概率可得分布列，再由期望公式可得期望； （2）根据概率关系求出递推公式，然后利用构造法求出通项即可. 【小问1详解】 投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有： ，共9个样本点. 所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为. 依题意，X可取0，1，2，3， ， ， ， . 0 1 2 3 . 【小问2详解】 若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为； ②第次由小明投掷，第次由小芳投掷， 其概率为. 因为①②两种情形是互斥的， ∴， ∴. 因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $