精品解析：浙江省钱塘联盟2026-2027学年高二上学期11月期中学科练习数学试题

高二数学学科练习 注意事项： 1.本练习共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可化为，即可得出斜率. 【详解】可化为，则 故选：C 【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题. 2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆的标准方程求得，，，再结合椭圆的离心率公式列出关于的方程，解之即得答案． 【详解】解：由题意知，，且， 所以， 化简后得：. 故选：B． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，以及根据椭圆的标准方程和离心率求得，，，化简计算，属于基础题． 3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】据平面，可求出点坐标，进而可得与. 【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以平面于点， 所以，所以， 所以. 故选：C 4. 在正方体中，平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为原点，、、的正方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体边长为1，则，，，，，，. ， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 对于A，，因为与不共线， 所以不是平面的一个法向量，故A错误； 对于B，，因为与不共线， 故不是平面的一个法向量，故B错误； 对于C，，因为与不共线， 故不是平面的一个法向量，故C错误； 对于D，，因为，所以与共线， 故是平面的一个法向量，故D正确. 5. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】据两圆对称则圆心对称且半径相等，可先求出对称圆的圆心坐标，再据半径相等写出圆的标准方程. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 所以关于原点对称的圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：A 6. 在四面体中，点是的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用重心的性质和空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接并延长交于，因为点是的重心，则是的中点，连接, 令，则，， 又， 所以. 即. 7. 在正三棱柱中，，M为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 以M为原点，、、的正方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 设棱长为1，则 ，，，， ， 则，， 直线与所成角的余弦值为 . 8. 已知直线和圆交于、两点，设线段的中点为，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，求出直线的定点，根据圆的定义，求出动点的轨迹方程，即可求得的最大值. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 直线恒过定点，定点在圆内， 连接，易知，设点， 则，， 所以， 整理可得，即点的轨迹方程为， 记圆的圆心为，其半径为， 所以. 当且仅当点为射线与圆的交点时，取最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 经过点，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】按焦点的位置分类讨论，用待定系数法求椭圆方程. 【详解】设椭圆长轴长为，短轴长为，由题意可知， 若椭圆焦点在轴上，方程为，将点代入， 得，解得，，方程为； 若椭圆焦点在轴上，方程为，将点代入， 得，解得，，方程为. 综上所述，椭圆方程为或. 10. 平行六面体中所有棱长均为2，且，则（ ） A. B. C. D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】把拆成，利用数量积分配律展开计算，判断选项A；把表示为，先求向量模长的平方，再开方得到，判断选项B；写出，计算与的数量积，由数量积为0判定垂直，判断选项C；由对称性确定的射影G在上，利用求出参数t，算出后用勾股定理求出，判断选项D． 【详解】设， 由题意知，， 故， 对于A：因为， 所以，故A正确； 对于B：因为， 则， 故，故B错误； 对于C：因为， 则， 故，C正确； 对于D：由，根据对称性，在平面内的射影在角的角平分线上， 故与共线，设， 因为平面，则，， 可得，解得， 故，， 所以，故D正确． 11. 已知点在圆上，点坐标分别为和，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为34 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：设，表示直线的斜率，直线过原点，与圆有交点，则圆心到直线距离，利用点到直线的距离公式计算得解；选项B：令，即，利用直线与圆有交点得到圆心到直线的距离小于等于半径计算得解；选项C：计算 ，是到原点距离平方，求出的最小值，从而得到；选项D： 设，利用两点间的距离公式求出，令，，利用导数法求解. 【详解】整理为， 圆心，半径，， 选项A：设，表示直线的斜率，直线过原点，与圆有交点， 则圆心到直线距离， 即，解得，即， 最小值是，A错误； 选项B：令，即，可看作直线 直线与圆有交点，则， 解得，即， 最大值为，B正确； 选项C：，， ， 是到原点距离平方，即， ，圆半径，所以的最小值为，的最小值为， ，C正确； 选项D：圆：，， 设， ， ， ， 令，， ， 极值点满足， 即，解得， 两边平方得，即， 解得，且，符合要求， 的解为，则在是单调递增函数； 的解为，则在是单调递减函数； 则为的极大值点，为的最大值， 将代入， 得到， ， 即的最大值为，D正确. 非选择题部分 三.填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 椭圆上一点到焦点的距离是，那么到焦点的距离___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由可得，所以， 由椭圆的定义可得， 所以， 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求相交弦的方程，设公共弦长为，根据弦心距、公共弦长及半径的关系列方程求公共弦长即可. 【详解】由题意，两圆标准方程为：，，而两圆方程相减可得相交弦方程为：， ∵的圆心为，半径为2，则弦心距为， ∴设公共弦长为，则，两边平方整理得：，即. 故答案为： 14. 在空间中，两定点，间的距离为4，动点，到直线的距离分别为2和1.若二面角的大小为，则当，两点间距离最小时，二面角的余弦值的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】以直线为轴，建系，设出各点坐标，根据二面角的大小为，设出点和，即可求出，两点间距离最小时，和坐标的关系，再分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式，即可求出二面角的余弦值，换元后，构造函数，通过导数即可求其取值范围. 【详解】如图，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，在上的垂足分别为，， 二面角的大小为， 在垂直于的截面内，两条垂线夹角为， 可取，， ， 当且仅当两垂足重合时取得最小值，最小值为， 记重合垂足，此时，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以， 设二面角的余弦值为， ， 令，，则， 设，， 故在上单调递增，， 当时，， 所以. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，且与直线平行的直线； （2）经过点，且与直线垂直的直线. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合条件，利用点斜式，即可求解； （2）先求出直线的斜率，结合条件，利用点斜式，即可求解. 【小问1详解】 易知直线的斜率为， 所求直线与其平行，故所求直线的斜率为， 又该直线过点，故直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线的斜率为， 所求直线与其垂直，故所求直线的斜率为3， 又由过点，故直线的方程为，即. 16. 四棱锥的底面为矩形，底面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为为矩形，所以为的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面，故有平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意知直线，，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，平面，所以， 所以直线，，两两垂直， 以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示. 则有，，. 易知平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， ，. 有，，即，即，得. 设二面角的平面角为，则 . 故. 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． （1）求此圆的标准方程； （2）在①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中并解答： 过点________作该圆的切线，求切线所在直线方程． 【答案】（1） （2）若选①，切线方程为或； 若选②，切线方程为或； 若选③，所求直线方程为． 【解析】 【分析】（1）解法1：设圆心坐标，由圆心在给定直线上、到A和B距离相等列方程组解出圆心，再求半径写出圆标准方程； 解法2：先求弦的垂直平分线，联立它与已知直线的方程得到圆心，再求半径写出圆标准方程； （2）选①：先判定点在圆外，分斜率不存在、存在两类，利用圆心到切线距离等于半径求出两条切线方程； 选②：判定点在圆外，设斜率存在的切线方程，由圆心到切线距离等于半径解斜率，得到两条切线； 选③：解法1：判定点在圆上，设切线斜截式，由圆心到切线距离等于半径求出斜率，得到切线方程； 解法2：判定点在圆上，利用半径与切线垂直、斜率乘积为求出切线斜率，进而写出切线方程． 【小问1详解】 解法1：设圆心的坐标为， 因为圆心在直线：上，所以， 因为,是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有 ，即， 联立可得，， 所以圆心的坐标是，圆的半径， 所以，所求圆的标准方程是； 解法2：设线段的中点为，由，两点的坐标为，， 可得点的坐标为，直线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线的方程是，即， 由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解， 解这个方程组，得， 所以圆心的坐标是，圆的半径是， 所以，所求圆的标准方程是． 【小问2详解】 （2）若选①： 因为，所以在圆外，所以有两条切线， 当切线的斜率不存在时，方程为，满足条件； 当切线的斜率存在时，因过点，可设其方程为， 化为一般式方程， 由点到直线的距离公式可得：，解得， 所以，所求直线方程为， 综上所述，所求切线方程为或； 若选②： 因为，所以在圆外，所以有两条切线， 显然，切线的斜率存在，因为过点，可设其方程为， 化为一般式方程，由点到直线的距离公式可得：， 解得或， 所以，所求直线方程为或． 若选③： 解法1：因为，所以在圆上，所以有一条切线， 显然，切线的斜率存在，因为过点，可设其方程为， 化为一般方程， 由点到直线的距离公式可得：，解得， 所以，所求直线方程为； 解法2：因为，所以在圆上，所以有一条切线， 直线与切线相互垂直，因为，所以，所求切线斜率为， 所以，所求直线方程为． 18. 如图，在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点（不包含端点）. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明：，，. ，， 又且，所以. ，，， 平面，平面，， 由，，面，面，且， 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证出 ，再由线面垂直得，结合两条相交直线证出线面垂直； （2）法一：先建立空间直角坐标系，写出 坐标，得到向量、，求出 的单位方向向量，再利用向量版点到直线距离公式：距离等于向量模长平方减去该向量在方向向量上投影的平方再开方，算出结果；法二：先算出；作辅助点，先后造出两个平行四边形，把 平移成 ，得到 底面，求出；再证是直角三角形，最后用等面积法算出斜边上的高，也就是点 到 的距离； （3）建空间直角坐标系，设参数表示点；求出平面的法向量；线面角正弦等于直线方向向量与法向量夹角余弦的绝对值；转化为关于的函数，结合求值域. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 法一： 记线段中点为点，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图空间直角坐标系. 平面，在平面内， ,. 则，，， ，. 与同向的单位向量. 点到直线的距离. 法二： 平面，在平面内， 延长线段至点使得，连接和， 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形， 所以. ，且，且 四边形为平行四边形，且 平面，平面， 连接，则 同理， 又， 点到直线的距离. 【小问3详解】 记线段中点为点，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图空间直角坐标系，则，， 设，，， 平面即平面，而在平面内， ， 设平面的法向量， ，其中，由二元一次函数性质可知，的对称轴在， 所以在单调递增，在单调递减. 所以最大值在取得，此时； 当时，，当时，. 因为，所以. . 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）过作斜率不为零的直线交于，两点，过点的直线，分别交直线于，两点，记线段的中点为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）. （2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，如图所示： 显然有， 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，得，故， 同理有，， 又，则有 ， ，有，故. （ⅱ）是定值，. 【解析】 【分析】（1）已知焦点坐标和离心率，可求出，，进而写出椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）分类讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率不存在时，显然；当直线的斜率存在时，设直线的方程和点，的坐标，联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理得出和；写出直线的方程，进而写出点，，的坐标；计算出，则； （ⅱ）分类讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率不存在时，写出点，，，，的坐标，进而计算出，，的面积，得到；当直线的斜率存在时，由（ⅰ）可知和，进而计算出，，的面积，得到. 【小问1详解】 由题意可知解得 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （2）（ⅰ）略 （ⅱ） 当直线的斜率不存在，即时，如图所示： 把代入，解得，，故，， ，， 则直线的方程为，所以， 故， ， 所以； 当直线的斜率存在，即时，如图所示： 由（ⅰ）知 ， ， 又， 则， 所以（定值）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 注意事项： 1.本练习共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. 5 D. 4. 在正方体中，平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 5. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，点是的重心，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱中，，M为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线和圆交于、两点，设线段的中点为，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 经过点，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 10. 平行六面体中所有棱长均为2，且，则（ ） A. B. C. D. 点到平面的距离为 11. 已知点在圆上，点坐标分别为和，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为34 D. 的最大值为 非选择题部分 三.填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 椭圆上一点到焦点的距离是，那么到焦点的距离___________. 13. 圆与圆的公共弦长为______． 14. 在空间中，两定点，间的距离为4，动点，到直线的距离分别为2和1.若二面角的大小为，则当，两点间距离最小时，二面角的余弦值的取值范围是________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，且与直线平行的直线； （2）经过点，且与直线垂直的直线. 16. 四棱锥的底面为矩形，底面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． （1）求此圆的标准方程； （2）在①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中并解答： 过点________作该圆的切线，求切线所在直线方程． 18. 如图，在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点（不包含端点）. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）过作斜率不为零的直线交于，两点，过点的直线，分别交直线于，两点，记线段的中点为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $