精品解析：广东省中山市第一中学丰山部2026-2027学年高三上学期第一次统考数学试题

2026-2027学年广东省中山市第一中学丰山部高三上学期数学 第一次统考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式解法求集合，进而求交集. 【详解】由题意可得：， ， 所以. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 则“”是“”的充要条件. 3. 已知函数，则的零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式求定义域并判断其单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C 4. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的三角函数值确定正确答案. 【详解】的定义域是， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，由此排除BD选项. 由于， 所以，由此排除A选项.所以C选项正确. 故选：C 5. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 6. 如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查复合函数单调性，分别计算内外层函数单调性，由同增异减性质确认函数的最终单调性. 【详解】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 【点睛】判断复合函数单调性，由外层函数的范围确定最终自变量的取值范围. 8. 已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断函数的对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】由知的图象关于直线对称； 由，，， 知在上单调递增， 所以在上单调递减． 又，始终在递增区间，故分两类： 当，即时， 由，得， 所以，解得． 当，即时， 利用对称性，且． 由， 得，即， 所以． ，所以无解． 综上所述，关于m的不等式的解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数的单调增区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判断A;利用换元法求得函数值域，可判断B;利用基本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号，可判断D. 【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，对于函数，， 解得，所以函数的定义域为，A选项正确； 对于B选项，令，则，，且时，取得等号，所以函数的值域为，B选项正确； 对于C选项，，当且仅当时，即等号取得，但等号取不到，所以C选项错误； 对于D选项，，所以函数的单调增区间为和，单调区间之间不能用并集符号，D选项错误， 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，7，9，12，14，21的25%分位数为3 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若随机变量服从二项分布，，则 D. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占40%，乙厂产品占60%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是60%.在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.64 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，由8×25%=2，可得数据的25%分位数为，故A选项错误； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，由，，有，，可得，故C选项正确； 对于D选项，这个灯泡是合格品的概率为40%×80%+60%×60%=0.68，故D选项错误. 11. 已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可. 【详解】设，则，，， 因为，故选项A正确． 因为，，所以，即，故选项B不正确． 因为，故选项C正确． 因为，故选项D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数的值域即可. 【详解】函数是奇函数，则:①, 结合函数所过的点可得:②,①②联立可得:， 则函数的解析式为:，结合指数函数的性质可得:，，. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数解析式的求法（待定系数法）及函数定义域值域的求法，要求学生仔细审题，考查学生的计算能力，是难题. 13. 已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________. 【答案】6108 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数运算法则求出数列的前项和，再找到使其为正整数的，进而求和即得. 【详解】依题意，数列的前项和 ，由正整数为数列的“好数”， 得，且为正整数，由，得， 由，得，即，而数列是递增数列， ，因此，在内所有的好数之和为 . 故答案为：6108 14. 已知函数，，若成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以两函数的公共函数值为参数，将双变量差转化为单变量函数，再利用导数求最小值． 【详解】设，由得，且，于是， 所以，，从而． 令（），则． 因为与在上均单调递增，所以在上单调递增，且． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取得最小值． 此时，，满足，故的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求出，的值，并证明：数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1），；证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可令，，求得，的值，再由数列的递推式，作差可得（），验证时，，即可得数列为首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）求得，，再由裂项相消法求出数列的前项和，再由不等式的性质即可得证. 【详解】（1）当时，，即， ∴， 当时，，即， ∴， ∵（）， ∴， ∴， 整理得， ∴（）， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，所以，所以， ∴， ∴， ∵，∴，∴，即. 【点睛】本题主要考查了数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，考查了裂项相消法在数列求和中的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题. 16. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 偶函数；略； 【小问2详解】 因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 17. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）当时，，，， 设，则，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为，所以恒成立， 所以在上单调递减， 当时，，因此对于，. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）根据题意，构造函数 ，分别讨论和时的单调性即可； （3）根据题意，构造函数，利用求导得到的单调性，进而得到的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， ① 当时，恒成立，在上单调递增；且时，时， 故有唯一零点且为变号零点，有极值点， ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略. 18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，． （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程； （2）小张每天上班选择骑电动车或自行车，每月第一天他选择骑电动车或自行车的概率均为，从第二天起，若前一天选择骑电动车，则后一天选择骑自行车的概率为，若前一天选择骑自行车，则后一天选择骑电动车的概率为，每个月按照20个工作日计算，设他在某个月的第个工作日骑自行车上班的概率为． （i）求数列的通项公式； （ii）若，都是离散型随机变量，则，若小张该月累计骑自行车上班的次数为，求，保留到小数点后一位． 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，． 【答案】（1）更合适， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型，将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可； （2）（i）由全概率公式可得每个月的第个工作日骑自行车上班的概率的递推关系，通过构造等比数列得到通项公式；（ii）记为第天小张骑自行车上班，为第天小张骑电动车上班，则，利用期望的线性性质得到. 【小问1详解】 由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到， 因为， 则， 则， 所以，则. 【小问2详解】 （i）设他在每个月的第个工作日骑自行车上班为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以； （ii）记为第天小张骑自行车上班，为第天小张骑电动车上班， 则，则， 又， 所以． 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】（1）是的“－函数”，证明： 由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2） 由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3） 由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广东省中山市第一中学丰山部高三上学期数学 第一次统考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则的零点所在大致区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数的单调增区间为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，7，9，12，14，21的25%分位数为3 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若随机变量服从二项分布，，则 D. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占40%，乙厂产品占60%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是60%.在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.64 11. 已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为______ 13. 已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________. 14. 已知函数，，若成立，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求出，的值，并证明：数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为，求证：. 16. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 17. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，. 18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，． （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程； （2）小张每天上班选择骑电动车或自行车，每月第一天他选择骑电动车或自行车的概率均为，从第二天起，若前一天选择骑电动车，则后一天选择骑自行车的概率为，若前一天选择骑自行车，则后一天选择骑电动车的概率为，每个月按照20个工作日计算，设他在某个月的第个工作日骑自行车上班的概率为． （i）求数列的通项公式； （ii）若，都是离散型随机变量，则，若小张该月累计骑自行车上班的次数为，求，保留到小数点后一位． 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，． 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $