广东深圳市聚龙科学中学2026-2027学年高三第一学期第三次质量检测数学试卷

深圳市聚龙科学中学2026-2027学年度第一学期11月第三次质量检测 高三数学试卷（三) 命题人：黄东平 审核人：罗东连 时间：2026.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.样本数据25,17,26,31,29,18,28,40的中位数为() A.31 B.29 C.30 D.27 2.已知-(2，-1)，b=(2,3),且(+2b)/6,则=() A.- B.- C. D. 3.若集合A={=sinn∈Z,B0s≤1}，则AnB=（) A.{0} B.{0,1 c.{o,9 D.{o,,} 4.曲线y=lnx+x在点(1,1)处的切线方程为() A.2x-y1=0 B.2x-y3=0 C.x+2y-3=-0 D.x-2叶1=0 5.抛物线y=x2-4x的顶点到抛物线y=-4x2的准线的距离为(） A.3 B.器 C.5 D. 6.己知函数)出的最大值为1，则：() A.1 B.月 C.0 D.2 7.西双版纳傣寨依山建造12栋竹楼，记第i栋竹楼居住户数为a,(=1,2,·,12),其中413,424=5,444s=7, 且数列a6,47,·,412为首项是9，公差是2的等差数列.把41至412分为6组，每组2个数字，每组两数之和组 成6项公差为心0的等差数列，则止() A.2 B.4 C.6 D.8 8.已知集合A={-1,0,1},若函数fx)满足对任意的x,y∈A均有x),y)∈A且x)十)上xy).在所有函数 x)构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量-1)+0)+1)，则X的数学期望为() A.月 B.-1 C.0 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若=1+3i,则() A.2=1-3i B.z=√10 C.z2=8+6i D.共∈R 高三数学试卷第1页（共4页） 10.已知四棱锥S-ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD,以AD为直径的圆交线段BC于点E,若 SA=V3AB=V3,则（) A.ED⊥平面AE B.二面角S-EC-D的平面角为60 C.△SED的面积的最小值为 D.存在某个位置B,使得点A到平面SBD的距离为 11.已知圆Ox2+y2=4,圆Cx2+y2+6x+82-25,直线1y=-4.（) A.直线1过定点(0，-4) B.当仁-V15时，直线1被圆O截得的弦长为2W5 C.当=7时，圆O与圆C有两个公共点 D.当=2V2时，过圆C上的点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,则存在点P使四边形OAPB 为正方形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线2x2-y2=6的离心率是· 13.已知x)2sin(2x+)(0s2m)是偶函数，x)在区间(0，)单调递增，则 14.设正实数q满足：存在数列{an},使得对于任意n∈N，均有a1ta+…+am=+,且{an}中有某连续 6项a,+1,…，+5是公比为q的等比数列，则q的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°，E是棱CC1的中点，F是 AB的中点，AC=BC=1,AA1=2 (1)求证：CF∥平面AB1E; (2)求三棱锥C-AB1E的高. E-- 高三数学试卷第2页（共4页） 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2 acosA-=ccosB+bcosC. (1)求A: (2)若FV6,b=2,设D为CA延长线上一点，且BD⊥BC,求线段AD的长. 17.(15分)假设某射手每次射击命中目标的概率为.现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击， 否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X (1)求P(X=3): (2)在=4的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率： (3)求X的概率分布和期望. 高三数学试卷第3页（共4页） 18.(17分)已知椭圆C:三+三1(ab0)的两个焦点分别为2(50)，(5.0)且过点(0,2). (1)求椭圆C的方程： (2)设M(-t,0),t∈(0,3)过点M作斜率为k(>0)的直线1与椭圆C交于P,Q两点，其中Q在第三象限.设 R为P关于原点的对称点， ①求△PQR面积的最大值，并求当△PQR面积取得最大值时，t与k的关系： ②在①的条件下，求tan∠PQR的取值范围. 19.(17分)己知函数x)的定义域为R,且当x<0时，x)=2x对任意x∈R,定义集合 D(xo)={dERI fxo+d)fxo)). (1)若当x20时，x)=1-x,求D(-1); (2)若x)是奇函数，x1)Sx2),且x1x0,证明：D)SDx1): (3)设fx)满足：①若fx1)x2),则Dx2)≤Dx1):②当0K<1时，fx)0).证明：0)21. 高三数学试卷第4页（共4页）高三数学试卷（三）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A 0 c B A AB ABD 题号 11 答案 ABD 1.D【详解】样本数据按照从小到大的顺序排列为17,18,25,26,28,29,31,40，中间的两个数为 26,28,故中位数为(26+28)÷2=27.故选：D 2.B【详解】因为a=(,-1),b=(2,3),所以a+2b=(0+4,5),又因为(d+2b)b,所以3(0+4)-2× 5=0,解得1=-子，故选：B. 3.C【详解)集合A=x=sin号n∈Z)=(-0,),而B=d0≤x≤1，所以AnB={0, 4.A【详解】因为y=x+x,所以y=+1,所以在点(1,1)处k=+1=2,所以在点(1,1)处的切线 方程为y-1=2(x-1),所以切线方程为2x-y-1=0.故选：A. 5.D【详解】由题意得y=x2-4x,由二次函数性质得其顶点为(2，-4而y=-4x2,得到x2=-y,故 抛物线)=-4x2的准线方程为y=。设抛物线y=x2-4x的顶点到抛物线y=-4x2的准线的距离为d, 则d=名-(-4)-铝故D正确故选：D 6.C【详解】f因=“型=总设x=x时，f网有最大值1，所以 x0+1二1 exo+a (ex+a)2 -xoe*o+a =0 ((e*0+a)2 整理得：x0+1=(x0+1)eo,所以x0+1=0或e0=1,所以x0=-1或x0=0, 当xo=-1时，f(-1)=0,不符合题意；所以x0=0,则a=0,f()=。 所以当x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x>0时，f(x)<0,f(x)单调递减： 故x=0是f(x)的最大值，符合题意，综上，a=0. 7.B【详解】由题意已知12个数分别为3,5,5,7,7,9,11,13,15,17,19,21， 其和为3+5+5+7+7+7×9+×2=132， 设新数列b1b2,b,b4b5,b6,则6b1+6d=132,2b1+5d=44, 由题意b1,d都是正整数，b1≥3+5=8，则d≤5.6，排除CD, 若d=2,则b1=17,不合题意(a(i=1,2,,12)中没有两个数的和是17)， 若d=4,则b1=12,新数列为12,16,20,24,28,32，即3+9,5+11,7+13,5+19,7+21,15+17. 8.A【详解】令x=y=0,有f(O)+f0)≤f(0)→f(0)≤0，又因为f(0)EA, 所以f(0)=-1或f(0)=0.令x=-1,y=0,有f(-1)+f(0)≤f0)→f(-1)≤0又因为f(-1)∈A, 所以f(-1)=-1或f(-1)=0.令x=1,y=0,有f(1)+f(0)≤f(0)→f(1)≤0又因为f(1)∈A, 答案第1页（共7页） 所以f)=-1或f(1)=0.令x=-1,y=-1,有f(-1)+f(-1)≤f(1)→f(-1)≤f(1) 所以f(-1)=0时，带入f(-1)≤f1)得f①)≥0，所以f(1)的可取值为0，f0)的可取值为-1,0， 此时x=f(-1)+f(0)+f(1)的所有可取值为：-1,0且每个结果被取到的可能性相等。 f(-1)=-1时，带入f(-1)≤f(1)得f()≥-2，所以f(1)的可取值为-1,0，f(0)的可取值为-1,0， 此时x=f(-1)+f(0)+f(1)的所有可取值为：-3，-2，-2，-1，且每个结果被取到的可能性相等. 综上所述：X的所有可取值：-3，-2，-1,0分布列： X -3 -2 -1 0 1 1 P 2 6 3 3 6 期望B(W=-3×+(-2)×兮+(-1)×+0×名-》 9.AB【详解】因为z=1+3i,所以z=1-3i,故A正确，|z=V2+32=√10，故B正确， z2=(1+3)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i,故C错误， 当-器-0-号e风、放D错误， 10.ABD【详解】对于A,连接AE,ED,SE,可得AE1ED,SA1底面ABCD, EDC面ABCD,所以SA L ED, 因为SA OAE=A,SA、AEC平面SAE,所以EDI平面SAE,故A正确： 对于B,二面角S-EC-D的平面角即为平面SBC与平面ABCD所成的平面角， 因为SA⊥底面ABCD,BCC面ABCD,所以SA⊥BC,AB⊥BC, 因为SA∩AB=A,SA、ABC平面SAB,所以BC⊥平面SAB, 因为AB,SBC平面SAB,所以LSBA即为所求， 因为SA=V3AB=V3,所以tan-SBA=沿=V3,∠SBA=60, 可得二面角S-EC-D的平面角为60°，故B正确： 对于C,设BE=x,EC=y(x,y>0),ED2=CD2+EC2=1+y2, AE2 AB2+BE2 =1+x2,SE2=SA2+AE2=SA2+AB2+BE2=4+x2, 因为AD2=AE2+ED2,所以1+x2+1+y2=(x+y)2,可得1=xy, 因为EDI平面SAE,SEC平面SAE,所以SE⊥ED, 所以△SED的面积为S=SE×ED=√4+x)1+y巧 =4+x+42+可≥5+22×42= 当且仅当2=4即x-V反，y-要等号成立，故C错误： 答案第2页（共7页） 对于D,假设存在某个位置E,使得点A到平面SED的距离为35 做AP L SE交SE于P,因为EDI平面SAE,APC平面SAE, 所以ED L AP,又SE∩ED=E,SE、EDC平面SED,所以API平面SED, 所以AP=,可得SP=V5A-AD严= P 4 4 :8 Sp √21 7 所以BE=VAE2-ABz=(% /32m 1-1=2 7 所以存在点B,且B6=25,使得点A到平面SBD的距离为35 7 ,故D正确故选：ABD. 11.ABD【详解】对于A,由直线l:y=kx-4恒过定点(0，-4)，故A正确： 对于B,由原点到直线y=-V压x-4的距离为d=壶=1， 所以直线l被圆0截得的弦长为2√4-d亚=2V3,故B正确； 对于C,由圆C:x2+y2+6x+8y=24→(x+3)2+(0y+4)2=49, 所以圆0与圆C的圆心距为0C1=√9+16=5， 圆0与圆C的半径分别为2,7，所以10C|=5=7-2, 即两圆内切，只有一个公共点，故C错误； 对于D,圆C:x2+y2+6x+8y=-17→(x+3)2+y+42=8, 假设存在点P使四边形0APB为正方形，则PA=PB|=2,由此可得：IOP|=2V2, 根据圆上动点P到原点的距离的取值范围是：[5-2W2,5+2V2, 而2V2∈[5-2W2,5+2WZ,所以圆C上存在点P,故D正确；故选：ABD 12.3 【详解】双曲线22-y2=6.即号-若=1，其实半轴长a=V5。半焦距c=3+6-3 所以所求离心率e==V3故答案为：V3 13.r【详解】由f)=2sin(2x+)0≤日<2m是偶函数，可得9=km+5k∈2刀， 因为0≤日<2，所以6=或，当8=时，f()=2sin(2x+)=2cos2x, 若0<x<5则0<2x<m,此时函数f()在(0，习)上单调递减，不符合题意： 当6=时，fx)=2sim(2x+=-2cos2x, 若0<x<牙则0<2x<m,此时函数f()在(0，)上单调递增，符合题意综上所述，日= 答案第3页（共7页） 14.6 【详解】令Tn=a2m-1+a2m,由题意可得Tm=n2+n-[(n-1)2+(n-1)】=2n, 即得a2m-1+a2m=2n(n∈N*), 设所给等比数列首项为u≠0，则六项为u,uq,uq2,uq3,uq4,uq5 若k=2m-1为奇数，三个完整配对和依次为2m,2(m+1),2(m+2), 同时又构成公比q2的等比数列，必须满足(m+1)2=m(m+2),矛盾，故k不能为奇数. 若k=2m为偶数，其中两组完整配对为uq+ug2=2(m+1),ug3+ug4=2(m+2). 两式相险狗器1+六因m≥1，做g三目9 验证可取：取m=1、g=5,令u=4 21 =g+分并设a2至a为u,ug,u02,ug,ug4,ug5 则a3+a4=4、a5+a6=6再取a1=2-u、ag=8-uq;其余每对可取a2m-1=0,a2n=2n(n≥5). 所有配对和均为2，满足原前项和条件，且六个等比项均非专，因此g=能取到 所以g的最大值为号 15.【详解】(1)取AB1的中点G,连接EG,FG. :F,G分别是AB,AB1的中点，∴FG‖BB1,FG=BB1 ,E为侧棱CC1的中点，∴.FG I EC,FG=EC,∴.四边形FGEC是平行四边形， ∴.CF IEG, ,CFG平面AB1E,EGC平面AB1E,.CF∥平面AB1E. (2),三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,AA1‖BB1,.BB1⊥平面ABC. ACC平面ABC,.AC⊥BB1,,∠ACB=90°，.AC⊥BC,BB1∩BC=B,BB1C平面EB1C,BCC平 面EB1C,.AC⊥平面EB1C,,CB1C平面EB1C,∴AC⊥CB1 VA-BB1c=S△EB1cAC=号×（分×1X1)X1=若 AB=EB1=VABI=V6= :Vc-AB1E=VA-8Bc,三棱锥C-AB1E的高为3c-E= S△AB1E 3 16.【详解】(1)因为2 acosA=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2 sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC, 即2 sinAcosA=sin(C+B)=sinA,又A∈(0，D,所以sinA>0,所以cosA=,则A=胃 2)在△ABC中，由正孩定里nca即何9=aAaC-号又D<a,所以LABC<BAC ABC=景G=m号月语“BD1Bc,则D--C=点又smD-器即m后-8 CD' 答案第4页（共7页） 所以CD=6 品血后南=6+23. 2×222 ∴.AD=CD-AC=6+2V3-2=4+2V3 17.【详解(1)前2次命中目标1次，第3次命中目标，则P(X=3)=C3× (2)前3次命中目标1次，第4次命中目标，则P《=9=C×()2×号× D 器 记该射手第2次射击射中目标为事件小，耗用了弹数为4为事件B,则P(AB)=号××号×需 所以P(4)-智-专 3)P=2)=x云P0x-3)=PK--器P=)=1-器-器器 所以80)-2×君+3×瓷+4×器+5×器-器 9+2 18.(1)根据题意可知c=Va2一b=V5,且b=2,解得a2=9,所以椭圆C的方程为 =1: (2)①如下图所示： 易知直线的方程为y=k(x+t),t∈(0,3)，显然点M在椭圆内的x轴负半 轴上， 不妨设P(x1,y1),Q(x2,y2), +-1 联立 ,整理可得(9k2+4)x2+18k2tx+9k2t2-36=0, (y=k(x+t) 18k2t 根据韦达定理可知x1十x2= 9k2+4,X1X2= 9k2t2-36 9k2+41 因此|PQ=V1+Rx1+x)2-4x12=V1+及、 18k2t12 9k2+4 -4×9k22-36 9k2+4 =V1+K.12W92+4k2平=292+4k2平+k2 9k2+4 9k2+4 且原点0(0,0)到直线的距离为d=t V1+k21 所以△PQR的面积SaP0R=2SAog=2X引PQIH=PQ1d=2,54年E.=12 9k2+4 V1+k2 9k2+4 令k2=u>0,则SAgR=2w094=126,g-9+起 9u+4 9u+4 记f60-e则r-o出 (9u+4)3 由f=0可得u=即k2=>0,解得te(,3) 因此函数f(ω在(0，)上单调递增，在（产，+∞）上单调递减， 答案第5页（共7页） 可知函数f(四在u=产处取得最大值， 4t2 将2=z,代入可得SAPOR=12C平=2 3k 9k2+4 8t2 2t2-9 因此△PQR面积的最大值为6，此时t与k的关系为k2=产)，tc(停，3) ②由R为P关于原点的对称点可知R(-x1,一y1): 设QR交x轴于点S,设直线PQ的倾斜角为a,直线QR的倾斜角为B, 所以LPMF2=a,LMSR=π-B, 则tama=k,tang=y2=四=y2y=k+2kt=k+2t 4 x2-(-x1)x2十x1 X2+x1 9k2+4 又tan/PQR=tan(LPMF2+∠MSR)=tan(a+π-)=tan(a-B) 当且仅当k=时，即k=时，等号成立： 由2=产>0可得t∈（受3），所以可得k∈(+o ,因此等号不成立， 所以tan-PQR>号，即tan-PQRi的取值范围为（传，+∞ 19.【详解】(1)(1)由f(-1)=21=子按定义D(-1)={d∈R则f(-1+d)>) 令t=-1+d,则t取遍R,且d=t+1。 当t<0时，f()=2,由2>=21及y=2严格递增，得t>-1,故-1<t<0, 当t≥0时，f因=1-t,由1-t>得t<2故0≤t< 综上可得te（-1,)结合d=t+1,得de(o,),故D(-1)=(o,) (2)f(x)为奇函数且定义域为R,故f(O)=0: 对x>0,-x<0,于是f(x)=-f(-x)=-2-x∈(-1,0) 因此f(x)>0台x<0,f(0)=0,f(x)<0台x>0: 且f(x)在(-∞，0)与(0，+∞)上分别严格递增， 由f(x1)≤f(x2)且x1x2≠0，分以下两种情形比较， 情形1：若x2<0,此时f(x2)=22>0,且D(x2)=(0,-x2), 若x1<0,由21≤22得x1≤x2,故-x1≥-x2,于是(0，-x2)∈(0，-x1)=D(x1), 若x1>0,f(x1)<0<f(x2)满足条件，且D(x1)=(-∞，-x1]U(0,+o)2(0,-x2)=D(x2)。 情形2：x2>0,此时f(x2)=-2-*2<0,故f(x1)≤f(x2)<0, 只能x1>0(x1<0时f(x1)>0,x1=0被x1x2≠0排除)， 答案第6页（共7页） 由-2x1≤-2-*2得x1≤x2,于是-x1≥-X2, D(x2)=(-∞，-x2]U(0,+o)∈(-∞，-x1]U(0,+o)=D(x1). 综上可得D(x2)=D(x1),得证. (3)记c=f(0),由条件②，当d∈(0,1)时f(d)<c,即f(0+d)>f(0)不成立， 故(0,1)内的d均不属于D(0),另一方面，任取xo∈(-1,0)， 当0<d<-x时x0+d<0,于是f(x0+d)=2o+d>2xo=f(x), 即(0，-xo)≤D(xo):由-x0<1知这段步长都落在(0,1)内， 若c≤2o=f(xo),在条件①中取x1=0,x2=x0便得D(xo)二D(O), 取d=-9,则0<d<-xo<1,由上段知d∈D(xo),从而d∈D(o), 即f(d)>c:但d∈(0,1)，由条件②又得f(d)<c,矛盾， 故对一切x0∈(-1,0)都有20<c,若c<1,由2x→1(x→0)， 可取x0∈(-1,0)充分接近0，使2o>c,与上式矛盾，所以c≥1，即f(0)≥1. 【分析】(1)换元t=-1+d,按t<0与t≥0分段解不等式： (2)先求出D(xo)在xo<0、xo=0、xo>0三种情形的显式表达，再按x2符号比较： (3)条件②表明D(0)不含(0,1)内的步长；而由x<0时，f(x)=2x递增，对x0∈(-1,0)有(0，-xo)∈D(xo), 且-xo<1,条件①把二者连起来：若f(0)≤fxo),则D(xo)≤D(0),于是(0，-xo)整个落进D(0),与条 件②矛盾，即可求证. 答案第7页（共7页）