精品解析：江西省南昌市进贤县第二中学2026～2027学年高二上学期期中数学试卷

2026-2027 学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷 考试范围：第一、二章　　时间：120 分钟　　分值：150 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上． 1. 不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ） A. B. C. D. 4. 设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 已知双曲线：，则（ ） A. 的顶点坐标为、 B. 的实半轴长为 C. 的离心率 D. 的渐近线的方程是 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 的最大值为9 D. 的最小值为4 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三、填空题：本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分，请将正确答案填写在答题卡上． 12. 抛物线的焦点坐标为________. 13. 焦点在轴上的椭圆的离心率，则的取值范围是________． 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 回答下列各题. （1）求经过点的抛物线的标准方程. （2）求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程. 16. 已知圆的圆心为直线与的交点，且圆与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 17. 已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． （1）求抛物线及切线的方程； （2）过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 18. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； （3）在（2）的条件下，求的最大值. （提示：若两条直线斜率分别为、，则这两条直线的夹角满足） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷 考试范围：第一、二章　　时间：120 分钟　　分值：150 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上． 1. 不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由已知设出直线的截距式方程，化为斜截式求其斜率得倾斜角. 【详解】由题可设的方程为，化简得， 故的斜率为1，倾斜角为. 故选：A. 2. 设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 3. 如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 4. 设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，因为，所以，得，则， 则直线的斜率为， 故的方程为，即 5. 双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设弦端点，，中点，故， 点在双曲线上，满足方程， 两式作差并整理得：， 故，经检验符合题意． 6. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 7. 已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，写出焦点在轴的双曲线的渐近线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径建立等式，求出的关系，再结合双曲线求解离心率． 【详解】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，半径． 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 整理为一般式为．直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径， 由点到直线距离公式，圆心到渐近线的距离： ，由相切条件，得． 因为，等式两边同时除以，得， 两边平方：，整理得到，即． 由双曲线关系式，把代入：， 故，离心率． 8. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，则，， 设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知： ，解得 所以，，， 在中，显然有，所以， 设，由余弦定理可知：， 即解得 因此椭圆的焦距为， 所以椭圆的离心率为：. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 已知双曲线：，则（ ） A. 的顶点坐标为、 B. 的实半轴长为 C. 的离心率 D. 的渐近线的方程是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，确定焦点在轴上，求出的取值，再结合双曲线的几何性质逐一判断各选项. 【详解】将双曲线化为标准形式：， 可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 的最大值为9 D. 的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，椭圆半长轴长，半短轴长，半焦距，故离心率为，A正确； 选项B，因为椭圆上异于长轴端点的动点，则， 则的周长为，B正确； 选项C，由上得，则，当点为短轴顶点时取等，故C正确； 选项D，设，则，，， 则 ，当点为短轴顶点时，取得最小值为，故D错误. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C不正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 三、填空题：本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分，请将正确答案填写在答题卡上． 12. 抛物线的焦点坐标为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程可知焦点在y轴正半轴上，且，即可得焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点在y轴正半轴上，且，即， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 13. 焦点在轴上的椭圆的离心率，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得，故的取值范围是. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 回答下列各题. （1）求经过点的抛物线的标准方程. （2）求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，，代入点坐标，即可求得答案； （2）设方程为，根据题意列出方程组，即可求得的值，代入方程，即可得答案. 【小问1详解】 由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，， 若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：； 若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：， 故所求抛物线方程为或. 【小问2详解】 焦点在轴上，设所求双曲线的方程为， 由题意，得，解得，，， 所以焦点在轴上的双曲线的方程为. 16. 已知圆的圆心为直线与的交点，且圆与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 由，解得，即， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 因为，， 所以为等腰直角三角形，， 所以到的距离为， 即到直线的距离即为，所以，解得或5， 所以直线的方程为或． 17. 已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． （1）求抛物线及切线的方程； （2）过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． 【小问2详解】 由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积． 18. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的取值范围是 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到，再将已知点代入双曲线方程求出参数，得到标准方程. （2）设出过定点的直线方程，和双曲线联立，转化为一元二次方程，结合二次项系数不为、判别式大于求解斜率范围. （3）先由倾斜角写出直线方程，联立双曲线求出弦长，设，求出点到直线的距离，利用三角形面积公式列方程求解. 【小问1详解】 由离心率，得. 又，代入得，所以. 双曲线方程化为，将点代入， ，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立， 消去，整理得. 因为直线与双曲线交于两个点，所以 由，得. 由， 得. 综上所得，的范围是. 【小问3详解】 直线倾斜角为，斜率， 直线：，整理为. 联立， 代入化简得，即. 设，， ，. 所以 . 设，点到直线：的距离 . ， 得，. 解得或. 所以坐标为或. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； （3）在（2）的条件下，求的最大值. （提示：若两条直线斜率分别为、，则这两条直线的夹角满足） 【答案】（1） （2）证明：设直线． 由，消去x可得， 整理可得，直线过椭圆的右焦点，显然． 设，，则，， 直线，直线， 将两直线方程联立可得，即． 代入，可得， 因为，代入上式，可得， 所以，所以点T在定直线上． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于的方程，求出它们的值，即可得答案； （2）设直线．联立椭圆方程，可得根与系数关系式，表示出直线，直线，联立并化简可得，即可得结论； （3）设，，由两直线的夹角公式得，结合基本不等式求最值即可求得答案. 【小问1详解】 因为点P到点的距离的最大值为3，所以． 又，所以，．由，得， 所以该椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，． 因为，，所以，． 设， 由两直线的夹角公式得， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 因为，且函数在上单调递增， 所以，即，即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $