精品解析：福建厦门市大同中学2026-2027学年上学期期中考试初二数学试卷

厦门市大同中学2026—2027学年（上）期中考试 初二数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） ※注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡. 2．答题一律用0.5毫米的黑色签字笔，尺规作图可用2B铅笔. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题都有且只有一个选项正确） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“三叶玫瑰线”“笛卡尔叶形线”“星形线”和“阿基米德螺线”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A. 3，4，7 B. 3，4，8 C. 3，3，5 D. 3，3，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次确定能否构成三角形. 【详解】A:3，4，7，因为3+4=7，不能构成三角形，故不符合题意； B. 3，4，8，因为3+4，不能构成三角形，故不符合题意； C. 3，3，5，因为3+3＞5,5-3＞3, 能构成三角形，故符合题意； D. 3，3，7因为3+3，不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定三角形能否构成 3. 如图，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 4. 在下列运算中，正确的是（　　） A. （x4）2＝x6 B. x3•x2＝x6 C. x2+x2＝2x4 D. x6÷x2＝x4 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，整式加减，同底数幂的除法法则进行运算即可解答． 【详解】解：A、（x4）2＝x8，错误； B、x3•x2＝x5，错误； C、x2+x2＝2x2，错误； D、x6÷x2＝x4，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、整式加减、同底数幂的除法，熟练掌握相关法则是解本题的关键． 5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， 故选：B． 6. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等腰三角形的三线合一 C. 垂线段最短 D. 是的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 7. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 8. 图1是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出、的长度即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ，， ， 同理可得：， ． 故选：C ． 9. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，四个全等的长方形的长宽分别为x、y.则①；②；③中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】把大正方形边长m、小正方形边长n用长方形的两边x、y表示出来，再代入逐项验证．判断②③时利用完全平方公式展开进行计算． 【详解】解：大正方形的底边由长方形的长x与宽y拼接而成，故； 中间小正方形的边长等于长方形的长与宽之差，故． 判断① 由可直接判断，所以①正确． 判断② ∴ 所以②正确． 判断③ 由②得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 所以③错误． 综上，正确的结论是①②． 10. 在平面直角坐标系中，点M（m＋2n，－3）和N（－m－n，6），其中m＞－2n，点M与点N关于直线l（直线l上各点的横纵坐标相等）对称，则m与n的数量关系为（ ） A. m＋3n＝6 B. m＝－n C. m＋2n＝－3 D. m＋2n＝6 【答案】D 【解析】 【分析】直线l上各点的横纵坐标相等，于是得到直线l的解析式为y＝x，即直线l为第一和第三象限的角平分线，推出点M（m＋2n，−3）在第四象限，得到N（−m−n，6）在第二象限，且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等，于是得到结论． 【详解】解：∵直线l上各点的横纵坐标相等， ∴直线l的解析式为y＝x， 即直线l为第一和第三象限的角平分线， ∵m＞−2n， ∴m＋2n＞0， ∴点M（m＋2n，−3）在第四象限， ∵点M与点N关于直线l（直线l上各点的横纵坐标相等）对称， ∴N（−m−n，6）在第二象限，且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等， ∴m＋2n＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−对称，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 二、填空题（11题每空2分，其余每题4分，共28分） 11. 计算：（1）______； （2）______； （3）______； （4）______； 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】四道小题分别对应零指数幂运算、合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方与幂的乘方的基础代数运算，直接套用对应运算法则计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 12. 如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】利用，求解即可； 【详解】解：， ， ，，， ， ； 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 15. 若m，n是正整数，且，则m，n的数量关系是______． 【答案】（或等价形式） 【解析】 【分析】将等式左右两侧的运算结果化简为同底数幂的形式，利用同底数幂相等时指数相等的性质推导与的关系． 【详解】解：∵等式左侧为4个相加， ∴左侧． ∵等式右侧为4个相乘， ∴右侧． ∵等式左右两侧相等，且底数，， ∴两侧幂的指数相等，即，整理得． 16. 如图，和是等腰直角三角形，，连接，，若，，则四边形面积最大值为______．（用含m，n的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形得到边相等，然后连接、，构造全等三角形，利用“边角边”定理即可证明，从而得到，；通过角度关系转化得到，即可证明，从而表示出四边形的面积，最后运用三角形三边关系求解． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，， ∴，． 如图，连接、，令与的交点为M，与的交点为N． ∵， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴，，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A、O、C三点共线且点O在A、C之间时，取最大值，此时四边形面积最大，， ∴四边形面积的最大值为：． 三、解答题（共82分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先分别计算同底数幂的乘法和幂的乘方项，然后合并同类项； （2）运用单项式乘多项式法则展开，然后结合同底数幂的乘法计算单项式乘单项式，将两个乘积相加； （3）运用多项式乘多项式法则和完全平方公式分别展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求证：AC＝DF． 【答案】 证明：∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 又∵， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS） ∴AC＝DF 【解析】 【分析】由已知BF＝CE，可得BC＝EF；由，可得∠B＝∠E，易证△ABC≌△DEF，即可得出AC＝DF． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△DEF． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 将，代入得 原式． 20. 如图，平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出点坐标； （2）内一点，在内的对称点的坐标为． 【答案】（1）如图，即为所求． ，，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系中的点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可作出，根据图即可写出，，的坐标； （2）由与关于x轴对称，可得点与点也关于x轴对称，即可求解． 【小问1详解】 解：图略， 由图可得，，，． 【小问2详解】 解：∵与关于x轴对称， ∴内一点，在内的对称点的坐标为． 21. 如图，小华有一块三角板，其中，过点作直线，分别过作的垂线，垂足分别是． （1）求证：； （2）若，求梯形的面积． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，∠ACB=90°， ∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）32 【解析】 【分析】（1）根据AD⊥l，BE⊥l，∠ACB=90°，可得∠DAC=∠ECB，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB； （2）根据ADC≌△CEB得到AD=CE，CD=BE，则有DE=DC+CE=AD+BE=8，再根据梯形面积公式计算． 【详解】解：（1）略 （2）∵△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，CD=BE， ∵DE=DC+CE=AD+BE=8， ∴梯形ABED的面积==32． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件证明△ADC≌△CEB． 22. 如图，已知△ABC，点D在边BC上，∠ADB=2∠C． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠A＝∠B＋∠C，求证：点D是BC中点． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； 法一：作线段AC的垂直平分线，交BC于点D． 法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D． （2） 连接AD， ∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD＋∠C， ∴∠C＝∠CAD， ∴AD＝CD． 法一： ∵∠BAC＝∠B＋∠C，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝90°． ∵∠DAB＝90°−∠CAD， ∠B＝90°−∠C， ∴∠DAB＝∠B， ∴AD＝BD． ∴CD＝BD，即点D是BC中点． 法二： ∵∠BAC＝∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD． ∴CD＝BD，即点D是BC中点． 【解析】 【分析】（1）法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点D．法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D即可； （2）法一：根据线段的垂直平分线的性质即可证明；法二：根据∠CAD＝∠C，利用三角形内角和定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 23. 综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取张型卡片，张型卡片，张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式______； （2）如果用若干张，，三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和在虚线框中画出你的拼图； （3）选取张型卡片，张型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，且为定值，求与的关系． 【答案】（1） （2）拼图如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）根据题意画出图形即可； （3）设，用表示出，，从而得出，结合为定值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：方法1：大正方形的面积为， 方法2：图2中四部分的面积为：， ∴得到乘法公式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴ ， ∵为定值， ∴， 即． 24. 在四边形中，，，垂足为． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且． ①证明； ②若，探究与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证，即可得出结论； （2）①过点作交延长线于，先由平行线的性质得，，，再证，可得结论；②先证是等腰直角三角形，得，再证，得，则，然后证，得，，进而得出结论． 【小问1详解】 （1）证明：，， 平分， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 （2）①证明：过点作交延长线于，如图2所示： ， ， ， ， ， ，， 是的外角， ， ， ， ； ②解：，理由如下： 由①知：， 在中，，， ， ， ， ， ， ，且， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识点，综合性较强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 25. 【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）3，60 （2）；理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴； （3）有，的最小值为8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形三边关系等，两点之间，线段最短等知识，综合性强，难度较大，证明三角形全等是解题根据﹒ （1）证即可得解； （2）证即可得解； （3）在射线BC上截取，连接，证明，进而证明是等边三角形，再证明点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得到，即可得到，由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，求出，即可得到的最小值为8． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∴， 故答案为：3，60； （2）略 （3）解：有最小值；理由如下： 如图，在射线BC上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市大同中学2026—2027学年（上）期中考试 初二数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） ※注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡. 2．答题一律用0.5毫米的黑色签字笔，尺规作图可用2B铅笔. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题都有且只有一个选项正确） 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“三叶玫瑰线”“笛卡尔叶形线”“星形线”和“阿基米德螺线”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A. 3，4，7 B. 3，4，8 C. 3，3，5 D. 3，3，7 3. 如图，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 在下列运算中，正确的是（　　） A. （x4）2＝x6 B. x3•x2＝x6 C. x2+x2＝2x4 D. x6÷x2＝x4 5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等腰三角形的三线合一 C. 垂线段最短 D. 是的垂直平分线 7. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 图1是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，四个全等的长方形的长宽分别为x、y.则①；②；③中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 10. 在平面直角坐标系中，点M（m＋2n，－3）和N（－m－n，6），其中m＞－2n，点M与点N关于直线l（直线l上各点的横纵坐标相等）对称，则m与n的数量关系为（ ） A. m＋3n＝6 B. m＝－n C. m＋2n＝－3 D. m＋2n＝6 二、填空题（11题每空2分，其余每题4分，共28分） 11. 计算：（1）______； （2）______； （3）______； （4）______； 12. 如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为______． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为______． 14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 15. 若m，n是正整数，且，则m，n的数量关系是______． 16. 如图，和是等腰直角三角形，，连接，，若，，则四边形面积最大值为______．（用含m，n的式子表示） 三、解答题（共82分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求证：AC＝DF． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出点坐标； （2）内一点，在内的对称点的坐标为． 21. 如图，小华有一块三角板，其中，过点作直线，分别过作的垂线，垂足分别是． （1）求证：； （2）若，求梯形的面积． 22. 如图，已知△ABC，点D在边BC上，∠ADB=2∠C． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠A＝∠B＋∠C，求证：点D是BC中点． 23. 综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取张型卡片，张型卡片，张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式______； （2）如果用若干张，，三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和在虚线框中画出你的拼图； （3）选取张型卡片，张型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，且为定值，求与的关系． 24. 在四边形中，，，垂足为． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且． ①证明； ②若，探究与的数量关系． 25. 【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $