精品解析：黑龙江省龙西北名校联盟2026-2027学年高一上学期11月期中阶段练习数学试题

秋季高一年级期中阶段练习 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，且不为0， 得，所以． 2. 命题“任意一个大于1的实数的平方都大于1”的否定为（ ） A. 任意一个大于1的实数的平方都小于1 B. 任意一个大于1的实数的平方都不大于1 C. 存在一个大于1的实数，其平方小于1 D. 存在一个大于1的实数，其平方不大于1 【答案】D 【解析】 【详解】原命题为“任意一个大于1的实数的平方都大于1”， 其否定为“存在一个大于1的实数，其平方不大于1”. 3. “”是“函数有个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】函数有个零点的充要条件为，即， 由一定可得，但由不能推出， 所以“”是“函数有个零点”的必要不充分条件，故B正确. 4. 下列函数中，与相同的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】两个函数相同当且仅当定义域相同且对应法则相同. 原函数，定义域，，， 对于A，，定义域，，， 定义域与对应法则一致，故A正确； 对于B，，定义域，与的定义域不同，故B错误； 对于C，，，，对应法则不一致，故C错误； 对于D，，定义域，与的定义域不同，故D错误. 5. 集合的非空真子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，等价于，解得. 因为，所以原集合为，该集合共有个子集， 除去空集和集合本身，非空真子集共有个. 6. 某班总共有40人，参加数学兴趣小组的有20人，参加物理兴趣小组的有10人，同时参加两个小组的有5人，则没有参加这两个兴趣小组的人数为（ ） A. 5 B. 15 C. 25 D. 35． 【答案】B 【解析】 【详解】至少参加这两个兴趣小组中一个的人数为，所以没有参加这两个兴趣小组的人数为. 7. 若正数a满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式结合条件求解. 【详解】因为，所以由基本不等式，得，又， 所以，当且仅当，即时等号成立，且此时满足题设条件， 所以的最大值为16. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】，将替换为，可得，进而推出函数为偶函数，将替换为，可得；在中，通过赋值法求出，进而求出；在中，通过赋值法求出，进而求出. 【详解】由，将替换为，可得，即， 可知，所以函数为偶函数，则， 由，将替换为，可得， 则， 在中，取， 则，又由，则， 又函数为偶函数，所以， 取，则，故， 取，则，故， 在中，取， 则，故， 又因为为偶函数，所以， 则. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，x为实数，C是由部分实数组成的集合，则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，，所以⫋. 对于A，由可得，但，，即不能推出，故A正确； 对于B，由可得，但，，即反之不成立，故B正确； 对于C，由可得，但若，反之不成立，故C错误； 对于D，由可得，但若反之不成立，故D正确. 10. 若实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的性质和基本不等式依次判断即可. 【详解】对于A，由，，得，两式相加得，所以，故A正确； 对于B，取，，则，，但，故B错误； 对于C，由，得，故C正确； 对于D，又，所以，故D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数为偶函数 C. 函数有且仅有2个零点 D. 函数有且仅有4个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A，B；通过讨论分别求解方程，分段统计零点个数即可判断C，D. 【详解】对于A，当时，,则，A错误； 对于B，当时，,，同理当时，，B正确； 对于C，当时，，当时，由，得， 解得，故该函数有且仅有1个零点，C错误； 对于D，当时，由，得，即，解得或，又当时，，所以该函数有且仅有4个零点，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数x，y满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则的取值范围为. 13. 设满足：对任意，都有．若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，对任意，都有， 令，得， 令，得． 14. a，b为实数，且均含3个元素的集合与相等，则______． 【答案】 【解析】 【详解】即这两个集合的元素必须完全相同， 由互异性，，，且，，. 由可得，即且. 因为是两个集合的公共元素，所以剩下的元素必须对应相等，即. 所以且，解得，经检验，满足条件， 故. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知命题p：，命题q：方程有两个不等的正实根． （1）若命题p是真命题，求k的取值范围； （2）若命题p为假命题，判断命题q是否为真命题，并说明理由． 【答案】（1） （2）不是真命题，理由如下： 由（1）可知：若命题是真命题，则， 所以若命题是假命题，则或. 若命题：方程有两个不等的正实根为真命题，则. 解得， 即若命题为真命题，则； 当命题假且命题真时，则，无解，故当命题为假命题时，命题不为真命题. 【解析】 【分析】（1）将命题是真命题转化为一元二次不等式在上恒成立，通过二次项系数和求解； （2）通过一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 若命题：，是真命题，当时，原式变为，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：若命题是真命题，的取值范围为. 【小问2详解】 略. 16. 已知集合． （1）若A中有且仅有1个元素，求a； （2）若A为集合的真子集，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由中有且仅有个元素，开口向上的二次不等式解集为单元素集等价于对应二次方程有两个相等实根，令判别式，分解因式解关于的方程； （2）由是的真子集，先按与、的大小分界分类，借助判别式判断是否为空集，再比较中元素与区间的位置关系，逐类筛选符合真子集条件的取值. 【小问1详解】 因为中有且仅有1个元素， 所以方程有两个相等的实数根， 即， 解得或. 【小问2详解】 当时，，而，不符合题意； 当时，，不符合题意. 当时，， 所以，满足为集合的真子集，符合题意； 当时，为集合的真子集，符合题意； 当时，，且， 而，所以集合不是集合的真子集，不符合题意； 综上，的取值范围为. 17. 某校筹备“数字校史展”，需要利用计算机处理一批影像素材．学校最多可调用20台计算机，每台计算机每分钟可处理1GB素材，每启用一台计算机，需依次进行1分钟接入检测，全部检测完成后，各台计算机同时处理平均分配的素材．已知调用9台与16台计算机完成任务所需的总时间相同． （1）求这批影像素材的总量； （2）若要求在25分钟内完成任务，求所有可行的计算机调用台数，并确定其中使总用时最短的方案． 【答案】（1） （2）所有可行的计算机为9、10、11、12、13、14、15、16台，其中调用12台计算机时总用时最短，最短时间为24分钟 【解析】 【分析】（1）设这批影像素材的总量为，根据题设有求参数值即可； （2）根据已知得、，再应用基本不等式求最小值，即可得. 【小问1详解】 设这批影像素材的总量为， 调用台计算机时，接入检测共需分钟，处理素材共需分钟， 因此完成任务的总时间为分钟. 由调用9台和16台计算机所需的总时间相同，得，解得. 故这批影像素材的总量为. 【小问2详解】 设调用台计算机，则为不超过20的正整数， 完成任务所需的总时间为分钟， 由，得，即，解得， 故所有可行的计算机调用台数为9、10、11、12、13、14、15、16， 由，当且仅当，即时等号成立， 因此，调用12台计算机时总用时最短，最短时间为24分钟. 18. 已知定义域为的函数满足，其中为实数． （1）求的解析式； （2）若，判断的奇偶性，并说明理由； （3）用定义法证明：对于任意实数，在上单调递增． 【答案】（1）. （2）非奇非偶函数，理由如下： 当时,,其定义域为,关于原点对称. 此时. 取,得,. 因为,所以不是偶函数；因为,所以不是奇函数. 故为非奇非偶函数. （3） 任取,且. 则. . . 因为,所以,, 从而,. 于是. 从而,即. 又,所以,即. 因此对于任意实数,在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）所给等式对任意实数都成立,把换成即可再得一个关于与的方程,两式联立消元就能解出. （2）取写出具体解析式,算出后与,比较;用特殊值说明二者都不恒相等,从而否定奇偶性. （3）用定义法:设,作差,对两个根式之差分子有理化,提取公因式,再用说明另一因式恒为正. 【小问1详解】 因为对任意实数都成立,所以用替换, 又得. 将第一式乘再减去第二式,消去,得. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 设函数． （1）若． （i）证明：是偶函数； （ii）求的值域． （2）讨论的单调性； （3）若,恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（i）由题设，该函数定义域为，关于原点对称， 而，即是偶函数； （ii） （2）时，在上单调递减，在上单调递增， 时，在、上单调递减，在、上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）（i）由奇偶性定义判定证明即可；（ii）化即可得值域； （2）写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调性； （3）根据题设有求参数范围，再验证是否满足题设即可. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）此时，可得的值域为. 【小问2详解】 由题设， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在、上单调递减，在、上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，可得，其中满足， 若时，，符合题意， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秋季高一年级期中阶段练习 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 命题“任意一个大于1的实数的平方都大于1”的否定为（ ） A. 任意一个大于1的实数的平方都小于1 B. 任意一个大于1的实数的平方都不大于1 C. 存在一个大于1的实数，其平方小于1 D. 存在一个大于1的实数，其平方不大于1 3. “”是“函数有个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，与相同的为（ ） A. B. C. D. 5. 集合的非空真子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 3 6. 某班总共有40人，参加数学兴趣小组的有20人，参加物理兴趣小组的有10人，同时参加两个小组的有5人，则没有参加这两个兴趣小组的人数为（ ） A. 5 B. 15 C. 25 D. 35． 7. 若正数a满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，x为实数，C是由部分实数组成的集合，则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 若实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数为偶函数 C. 函数有且仅有2个零点 D. 函数有且仅有4个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知实数x，y满足，，则的取值范围为______． 13. 设满足：对任意，都有．若，则______． 14. a，b为实数，且均含3个元素的集合与相等，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知命题p：，命题q：方程有两个不等的正实根． （1）若命题p是真命题，求k的取值范围； （2）若命题p为假命题，判断命题q是否为真命题，并说明理由． 16. 已知集合． （1）若A中有且仅有1个元素，求a； （2）若A为集合的真子集，求a的取值范围． 17. 某校筹备“数字校史展”，需要利用计算机处理一批影像素材．学校最多可调用20台计算机，每台计算机每分钟可处理1GB素材，每启用一台计算机，需依次进行1分钟接入检测，全部检测完成后，各台计算机同时处理平均分配的素材．已知调用9台与16台计算机完成任务所需的总时间相同． （1）求这批影像素材的总量； （2）若要求在25分钟内完成任务，求所有可行的计算机调用台数，并确定其中使总用时最短的方案． 18. 已知定义域为的函数满足，其中为实数． （1）求的解析式； （2）若，判断的奇偶性，并说明理由； （3）用定义法证明：对于任意实数，在上单调递增． 19. 设函数． （1）若． （i）证明：是偶函数； （ii）求的值域． （2）讨论的单调性； （3）若,恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $