精品解析：黑龙江省实验中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

黑龙江省实验中学 2026—2027 学年度高一学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120 分钟　　总分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. D. 与 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 的最小值是 2 C. 若任意正实数 ， 满足 ，使得 恒成立，则实数 的取值范围是 D. 若实数 ， 满足 ，，则 7. 设函数.若是的最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式 对任意 恒成立，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A. 最大值为3，最小值为 B. 最大值为，无最小值 C. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 D. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 11. 已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（    ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 函数的递减区间是_______. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为_________． 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，.已知函数 ，，则的值域为____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知 ，，求 的值； （2）计算： （）． 16. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）已知方程有两个正实数根，，，且满足，求的最大值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足， （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 18. 某传统手工艺制作工厂生产产品的固定成本为 8 万元/批次，一批次中每生产 万件，需额外投入成本 万元， ，该产品的出厂单价统一定为 12 元/件． （1）已知利润 销售收入总成本，请直接写出利润(单位：万元)函数 的解析式； （2）若要使生产某批次产品的利润最大，应生产多少万件？请求出最大利润； （3）已知利润率=利润/成本． 工厂受人力限制，本批次计划产量最多为 11 万件． 已知该工厂上批次共生产 12 万件产品，若要让本批次利润率不低于上批次的利润率，本批次产量最多为多少万件？(说明： 取 ) 19. 已知关于的函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学 2026—2027 学年度高一学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120 分钟　　总分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】，. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由命题的否定是改变量词，否定结论可知，原命题的否定为：，. 3. 下列两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数须定义域、值域、对应关系均相同，逐项判断即可. 【详解】对于选项的定义域为的定义域为， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项的定义域是，定义域不R . 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项的对应关系不同， 且的值域是由不小于的奇数组成的集合，的值域为不小于1的奇数组成的集合. 故不是相同函数，故C错误； 对于选项，函数的定义域、对应关系均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 5. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出当的定义域为时的取值范围，根据集合间的包含关系及充分条件、必要条件的定义即可得答案. 【详解】当的定义域为时， 则恒成立， 当时，则有恒成立； 当时，恒成立， 所以， 解得， 综上，， 又因为是的真子集， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 的最小值是 2 C. 若任意正实数 ， 满足 ，使得 恒成立，则实数 的取值范围是 D. 若实数 ， 满足 ，，则 【答案】D 【解析】 【分析】A 用反例排除，乘法性质需同向同正才能用；B 换元后用基本不等式，但等号取不到；C 由条件凑出，再用 "1 的代换" 求的最小值，恒成立转化为 小于最小值；D 用待定系数法把表示成与的线性组合，再由已知范围求范围. 【详解】选项A：根据不等式的乘法性质，仅当且时，可推出. 举反例：取，，，，满足、，但，，此时，A错误. 选项B：令，由得，则原式，等号成立条件为，与矛盾，无法取到2，B错误. 选项C：已知正实数满足，即，两边同除以得. 则  ，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为8. 若恒成立，则，解得，C错误. 选项D：设，则  解得，，即. 由，可得；由，可得，得，即，故D正确. 7. 设函数.若是的最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，当且仅当时等号成立， 即， 当时，对称轴为， 当时，即，因为是的最小值， 所以，即，解得， 所以， 当时，即，所以，不满足题意， 综上所述，. 8. 不等式 对任意 恒成立，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析二次函数零点分布，根据不等式在恒成立得到参数的等量关系，代入目标表达式，借助基本不等式求最值. 【详解】令， 令，则， 其判别式，又两根之积为， 所以必有两个异号的实数根， 设正根为，当时，，当时，， 要使对任意恒成立， 则需满足当时，， 当时，， 因此必须等于的正根，即， 整理得，两边平方得，即， 所以， 所以， 当且仅当时，取得等号， 又，所以当且仅当时，取得最小值为 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AD：利用基本不等式直接判断即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式分析判断；对于C：根据消元，结合基本不等式分析判断. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 即，故C错误； 对于选项D：，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A. 最大值为3，最小值为 B. 最大值为，无最小值 C. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 D. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 【答案】BC 【解析】 【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 根据定义画出， 容易看出有最大值，无最小值，故A错误； 当时，由，得舍或， 此时的最大值为：，无最小值，故B正确； 时，由，解得：（舍去）， 故F在，递增，在和递减， 故C正确，D错误， 故选：BC． 11. 已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（    ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题是抽象函数问题,用赋值法逐项判断.判断A时令与,求出的值;判断B时令,可得;判断C时先令得到,再用偶函数性质转化;判断D时设,把写成,用条件式判断其符号. 【详解】对于A,令,得,解得或. 再令,得,因为,所以. 又,所以,从而,故,A错误. 对于B,令,得,所以,即为偶函数,B正确. 对于C,令,得,即,用替换,得. 于是,又为偶函数,所以,即,C正确. 对于D,设,在中取,,得. 因为,所以,故. 因为,所以, 由为偶函数得,而,故. 所以,又,所以,即,所以在上单调递减,D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 函数的递减区间是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再在定义域内讨论二次函数的减区间，即可得到的递减区间. 【详解】由题意得： 二次函数在区间上是减函数，的递减区间为. 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用偶函数对称性得到两侧单调性与零点，再把乘积不等式拆成两个不等式组，结合定义域分段讨论符号求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增，， 故时，；时，； 时，；时，； 不等式等价于或，解得或， 故不等式的解集为. 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，.已知函数 ，，则的值域为____. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数中的分式分离常数，再结合给定的定义域分区间求解分式的取值范围，最后依据取整函数的定义确定函数的值域. 【详解】首先对函数内的分式进行分离常数变形：， 当时，，可得，所以， 得，此时的可能取值为、 当时，，得，所以， 此时的取值恒为. 综上，的所有可能取值为，故其值域为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知 ，，求 的值； （2）计算： （）． 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将目标式化为  ，再代入求值； （2）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； 【详解】（1）由，，得  . （2）原式.  16. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）已知方程有两个正实数根，，，且满足，求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式解集端点是对应方程的两根，判断开口方向，利用韦达定理列方程组，求出参数； （2）由方程有两正根，结合韦达定理及判别式求出的范围，将目标式用表示后换元，利用基本不等式求最值及等号成立条件. 【小问1详解】 不等式的解集为， 得，方程两根为， 所以，得，； 【小问2详解】 由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以，由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足， （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上为增函数， 证明如下：任取且， 则 因为，所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）求解含参奇函数的解析式，可优先利用 奇函数在原点处有定义则快速求得常数项参数，再结合已知函数值求解剩余参数；（2）用定义证明函数单调性，核心是作差后通过通分、因式分解变形，结合自变量的取值范围判断差的符号，进而确定函数的增减性；（3）双变量恒成立问题可分步消元：先对x求函数最值，将问题转化为单参数恒成立问题，再结合一次函数的端点最值性质求解参数范围. 【小问1详解】 函数是定义在[-3,3]上的奇函数，则，即，解得， 又因为，即， 解得，经检验可得， 符合题意.综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是 18. 某传统手工艺制作工厂生产产品的固定成本为 8 万元/批次，一批次中每生产 万件，需额外投入成本 万元， ，该产品的出厂单价统一定为 12 元/件． （1）已知利润 销售收入总成本，请直接写出利润(单位：万元)函数 的解析式； （2）若要使生产某批次产品的利润最大，应生产多少万件？请求出最大利润； （3）已知利润率=利润/成本． 工厂受人力限制，本批次计划产量最多为 11 万件． 已知该工厂上批次共生产 12 万件产品，若要让本批次利润率不低于上批次的利润率，本批次产量最多为多少万件？(说明： 取 ) 【答案】（1） （2）应生产12万件，最大利润为42万元. （3）本批次产量最多为6.5万件. 【解析】 【分析】(1)根据利润公式，分与两段化简，得到解析式； (2)分段分别用二次函数性质、基本不等式求最大值，比较得到最大利润； (3)先求上批次利润率，列出不等式，解一元二次不等式得到产量上限. 【小问1详解】 由题意得，销售收入为万元，总成本为万元， ， 当时，， 当时，， 所以 【小问2详解】 当时，该函数图象开口向下，对称轴为， 所以， 当时，， 因为，所以，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 此时， 因为，所以当时，利润取得最大值万元， 即应生产万件，最大利润为万元. 【小问3详解】 当上批次时，利润， 总成本为，上批次利润率为， 本批次满足，利润， 总成本为，由题意得， 化简得， 因为，去分母得， 整理得，即， 方程的两根为， 由，得，， 开口向上，不等式的解为， 又，所以本批次产量最多为万件. 19. 已知关于的函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （2） （3）由（2）知，在上为减函数， ①若，单调递减，若为“闭函数”，则， 两式相减得，这与矛盾． ②时，若为“闭函数”，则， 此时满足条件的存在， ∴时，使得为“闭函数”存在； ③时，若为“闭函数”，则， 消去得，即，解得， 此时，，且， ∴时，使得为“闭函数”的存在， 综上所述，当满足时，为“闭函数”． 【解析】 【分析】（1）根据的范围分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解； （2）结合二次函数的图像及函数的单调性，分类讨论的范围，即可求解； （3）先判断的单调性，再根据“闭函数”的定义，分情况讨论是否存在区间使得函数在该区间上的值域为． 【小问1详解】 原不等式可以变为， 所以当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【小问2详解】 函数的图象开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 综上，． 【小问3详解】 由（2）知，在上为减函数， ①若，单调递减，若为“闭函数”， 则，两式相减得，这与矛盾． ②时，若为“闭函数”，则， 此时满足条件的存在， ∴时，使得为“闭函数”存在， ③时，若为“闭函数”，则， 消去得，即， 解得此时，，且， ∴时，使得为“闭函数”的存在， 综上所述，当满足时，为“闭函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $