广东普宁市第一中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试卷

高三数学第二次月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C B C D D ACD AD ABD 12、 13、 4 14、 15．(1)证明：因为a2＝3，a2＝2a1＋1，所以a1＝1，…………………………………………2分 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)， …………………………………………………4分 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． ……………………………………………6分 (2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1， ……………………………………………………8分 所以， …………………………………………………………10分 所以n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0， 所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．…………………………………………………13分 16.（1）由题意可知，函数，则， ……………………1分 可得，， …………………………………………………………………3分 所以在处的切线方程为 ， …………………………………………………5分 即， 解得，.……………………………………………7分 （2）由（1）可得函数，则 ， ………………8分 令，即，解得或， ………………………………10分 令，即，解得， …………………………………12分 所以在区间 和 上单调递增，在区间递减，…………………13分 则函数的极大值是，函数的极小值是. ……………………15分 17．（1）∵是等边三角形，O为AD的中点，∴ ……………………1分 ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ……………………………………………………………………3分 （2）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴， 又平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，OF，AD两两垂直. ………………………………………………………………4分 以O为原点，以OA为x轴､OF为y轴､OP为z轴建立空间直角坐标系如图： …………5分 则，，， ∴，， …………………………6分 显然平面的法向量. …………………………7分 设平面PBE的法向量为， 则，∴，令，得. …………………………9分 ∴. ∴平面PBE与平面ABE的夹角的余弦值为. …………………………10分 （3）设在线段AB上存在点使线段PM与平面PAD所在平面成角， ∵平面PAD的法向量为，， ∴. …………………………13分 ∴，解得，符合题意. ∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成角. ……15分 18．（1）抽到小明能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为. 从10篇中抽3篇，小明能背诵出篇，则概率为. ……1分 所以，， ，， …………………………5分 因此分布列为： 0 1 2 3 …………………………7分 （2）小明能及格的概率.……………………10分 （3）设事件：小明至少1篇会背诵，事件：小明能及格， 由条件概率公式. 事件至少会1篇且可以及格， 故，， …………………………14分 因此. …………………………17分 19.（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为 …………………………4分 （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， …………………………5分 联立，化简得， …………………………7分 由韦达定理得，； …………………………8分 直线的斜率，故 ， …………………………9分 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， …………………………11分 因此直线恒过轴上的定点； …………………………12分 （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； …………………………14分 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. …………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市第一中学2026-2027学年度第一学期 高三第二次月考数学试卷 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（     ） A． B． C． D． 2．若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 6．在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在的展开式中，下列说法正确的是（     ） A．常数项为1120 B．第4项二项式系数最大 C．所有项的二项式系数和为 D．所有项的系数和为 10．已知向量，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与夹角为 D． 11．如图，已知正方体的棱长为1，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使平面 C．若，则的轨迹长度为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设的内角，，的对边分别为，，，若，，则角_______． 13．已知，，若，则的最大值为　 　． 14．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分13分) 设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1. （1）证明：{an＋1}为等比数列； （2）求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由． 16．(本题满分15分) 函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 17．(本题满分15分) 如图，在四棱锥中，等边三角形PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且. （1）求证：平面ABCD； （2）求平面PBE与平面ABE的夹角的余弦值； （3）在线段AB上是否存在点M，使直线PM与所在平面成角？若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由. 18．(本题满分17分) 某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 19．(本题满分17分) 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $