精品解析：湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

2026 年秋季高一数学期中考试 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若实数满足，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是0 D. 的最大值是16 6. 已知是定义在上的偶函数，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知函数的定义域为，，，恒有，且当时，，，，，则，，的大小关系为（） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的实数，，，以，，的值为边长均能构成一个三角形，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（） A. 函数的值域为 B. 若幂函数在上单调递减，则实数 C. 函数且)的图象恒过定点 D. 已知函数的定义域为，则的定义域为 11. 高斯(1777—1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，.下列命题正确的是（） A. 不等式的解集为 B. 不等式的解集为 C. 方程恰有两个不同实数解 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5，分，共15分. 12. 求值: _____________. 13. 已知，且，若 恒成立，则实数m的取值范围是______________. 14. 关于x的函数 若，且，则 的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，其中a为实数，集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式; （2）若实数t满足，求实数t的取值范围. 17. 某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. （1）求的函数关系式； （2）求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 18. 函数的图象关于点中心对称的充要条件是 . 已知函数 （1）求证：的图象关于点中心对称； （2）若函数 在区间上的最小值为 11，求实数 的值； （3）求关于的不等式的解集. 19. 函数的定义域为，其中，，，且，定义的最大元邻差和为，其中. （1）设，求的表达式； （2）设，，其中. (i)求； (ii)设，若，，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年秋季高一数学期中考试 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定形式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案. 【详解】根据全称量词命题的否定是特称量词命题得： 命题“，”的否定形式为：，. 故选： 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 又，所以. 3. 已知函数满足且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配凑法得到函数解析式，进而求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，则. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除选项A，然后根据函数在特定区间上的符号排除选项C、D，从而得出正确选项. 【详解】，定义域为，故为奇函数，可排除A， 在上单调递增，又， 故当时，，又，故，可排除C、D，故B正确. 5. 若实数满足，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是0 D. 的最大值是16 【答案】C 【解析】 【详解】由于，两式相加可得，故，A错误， 由得，与相加可得，故，B错误， 由于，因此，故的最小值为0，最大值为12，C正确，D错误. 6. 已知是定义在上的偶函数，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由是定义在上的偶函数，可得，结合，计算可得是的一个周期，即可得解. 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 又，即有， 则，即有， 则，故， 即，故是的一个周期， 则， 由，则， 由，则，即， 故. 7. 已知函数的定义域为，，，恒有，且当时，，，，，则，，的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得，结合单调性定义，对任意，令，可得，即可得在上单调递增，再将，，表示成形式，通过比较、、大小关系即可得解. 【详解】令，则由， 可得，即， 对任意，令，则，有， 由，则，故， 故在上单调递增， 则，， ， 由，则，由，则， 即有，又在上单调递增， 故，即. 8. 已知函数，若对任意的实数，，，以，，的值为边长均能构成一个三角形，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，利用基本不等式计算并令可得，由题意可得，，三者中较小的两数之和大于第三个数，再分、及讨论的单调性并计算即可得解. 【详解】令，则， 由，当且仅当时，等号成立， 故，令，则， 由题意可得，，三者中较小的两数之和大于第三个数， 当时，随的增大而减小， 故，即， 故有，解得，即； 当时，恒成立， 此时对任意的，，，都有，符合题意； 当时，随的增大而增大， 故，即， 故有，解得，即； 综上所述：实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：举反例：取，，，满足，， 但，此时，A错误； 选项B：由可知，即，可得，B正确； 选项C：由作差法得， 由，可知，，因此差值大于0，即，C正确； 选项D：构造函数：，所以在上单调递增， 当时，即，故，D正确. 10. 下列说法正确的是（） A. 函数的值域为 B. 若幂函数在上单调递减，则实数 C. 函数且)的图象恒过定点 D. 已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助二次函数性质可得A；利用幂函数定义及幂函数图象性质可得B；借助指数函数性质可得C；借助抽象函数定义域算法可得D. 【详解】对A：， 由，故，故A正确； 对B：由幂函数定义可得，解得或， 若，则，在上单调递减，符合题意； 若，则，在上单调递减，符合题意； 综上可得：或，故B错误； 对C：，故函数的图象恒过定点，故C正确； 对D：由函数的定义域为，可得， 则的定义域为，故D正确. 11. 高斯(1777—1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，.下列命题正确的是（） A. 不等式的解集为 B. 不等式的解集为 C. 方程恰有两个不同实数解 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由题意可得，再分、及计算即可得；对B：令，则原不等式等价于，该不等式无整数解；对C：由，可得，从而可得，即原方程等价于方程，解出即可得；对D：令，由题意可得，且、，代入原不等式计算即可得解. 【详解】对A：由，则，当时，， 当时，，当时，， 故不等式的解集为，故A正确； 对B：令，则，原不等式等价于， 解得，与矛盾，故该不等式解集为，故B正确； 对C：由，则，故，则， 故，即原方程等价于方程， 由，即方程只有一解， 故方程也仅有一个实数解，故C错误； 对D：令，则， 由，可得，则有，解得， 由且，则有，解得， 故，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5，分，共15分. 12. 求值: _____________. 【答案】 【解析】 【详解】原式 . 13. 已知，且，若 恒成立，则实数m的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法求解的最小值，即可将问题转化为求解. 【详解】由于，且，故， 当且仅当，即时取到等号，故的最小值为2， 若恒成立， 则，故，解得. 所以实数的取值范围为. 14. 关于x的函数 若，且，则 的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先把变形为，根据得；进而利用基本不等式即可求解. 【详解】由知等价于， 两边同乘 ，得， 故，因为，故，于是 ， 当且仅当，即时等号成立，此时，符合题意，故最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，其中a为实数，集合． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合，再利用并集的定义求解. （2）由充分不必要条件的定义，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 对不等式， 则，解得，即， 当时，集合，所以. 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，得是的真子集，而集合非空， 则 ，， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式; （2）若实数t满足，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质并结合题意求解参数即可. （2）利用函数单调性的定义得到在上单调递增，进而结合奇函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以在处有定义，则， 又，解得，可得. 【小问2详解】 设，则 ， 由，且 ， 故，即，故在上单调递增, 可得等价于， 得 到，即解得， 又且，解得，即. 综上可得实数t的取值范围为. 17. 某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. （1）求的函数关系式； （2）求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【答案】（1） （2）3.4小时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的性质，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用每段曲线对应函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，； 综上可得. 【小问2详解】 由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：， 当时，令， 解得：， 综上可得，， ∵， ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 18. 函数的图象关于点中心对称的充要条件是 . 已知函数 （1）求证：的图象关于点中心对称； （2）若函数 在区间上的最小值为 11，求实数 的值； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） 的定义域为 ， 因为， 所以， 即的图象关于点中心对称. （2）； （3） 当 时，解集为 或； 当 时，解集为； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 【解析】 【分析】（1）由的解析式求出，计算出的值，从而得到的图象的中心对称点. （2）由的解析式求出，令，求出的范围，构造函数，对称轴为 ，按照和讨论求解； （3）由（1）知，原不等式可化为. 由 的单调性，得到，讨论和求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 令，则 ， 设函数， 因为的图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ， 所以当，即 时，，解得 ； 当，即时， ，无解. 综上所述，实数的值为 . 【小问3详解】 由(1)可知， 则， 所以原不等式可化为， 即. 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，即. 当时，不等式 即 ，解得. 当时，不等式 可化为 ， 当时，则，故不等式可化为 ，解得或； 当时，不等式可化为 ， 当 时，，解得 ， 当 时，，不等式 的解集为， 当 时， ，解得. 综上所述， 当 时，解集为 或； 当 时，解集为； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 19. 函数的定义域为，其中，，，且，定义的最大元邻差和为，其中. （1）设，求的表达式； （2）设，，其中. (i)求； (ii)设，若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) ；(ii) 【解析】 【分析】（1）分析题意可得：若函数在上单调，则，则可由的单调性，分及讨论即可得； （2）(i)分、、、及讨论函数在定义域内的单调性，结合所给新定义计算即可得解；(ii)结合(i)中所得，可得在定义域内的单调性，则可得，结合对勾函数可得、的单调性，即可得、的最小值，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 若函数在上单调， 则 ， 则； 由在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取，，有 ； 当时， ； 综上所述：； 【小问2详解】 (i)由 ，且，故在上连续； 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故 ； 当时，有， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故 ； 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递减， 故或时，在上单调递减，在上单调递增， 故 ； 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故 ； 综上可得：； (ii)由，则在上单调递减，在上单调递增， 由，且在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 令，， 由对勾函数性质可知：在上单调递增， 故在上单调递增， 则， 当时，， 则在上单调递增，则 ， 由，，使得， 即有，故， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $