湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

戈沙市第一中学2025一2026学年度高一第一学期期中考试 数学参考答案 一、二、选择题 题号 2 3 7 8 9 10 11 答案 C B B B ABC ABD AC 1.C 2.C【解析】知m=-2,n=2. 3.D 【解桥】/(1+2)+√(1-√2)=1+2+1-2=2. 4.B 【解析】因为f八x的定义城为{zx才士3)，关于原点对称，且f八一)=(--9=9一八)， x 所以f(x)是奇函数，排除D;当x>3时，f(x)>0,排除C;当0<x<3时，f(x)<0,排除A. 5.B 【解析Jlog,6=lg2十1g3=1g2+lg3=a+6 1g 5 Ig 10-1g 2 1-a 号0<3， 6.A【解析】设行进的速率为vm/min,行走的路程为Sm,则v= 0,3≤t5, 品5<15， 3,0<t<3, a S=a,3≤t5, 由速率函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②. a+品t-5),5<15, 7.B 【解析】注意到a-[(受门-（品），6-[（号）]-（景） ,c=log43=-log23<0, 因为函数)=t为增函数，品<6所以1og43<0<()）<(品) ,即c<b<a 【注打或者()》>（号）》>（号）广（俊用罩画数和指数通教的单调检）。 8.B【解析1（号）=2f)中，令x=3,得f(3)=2f3)=2[2-f3-3)], 即f)=22-f0]=1,所以f(3)=2f1)=2 又f1)=2-f3-1)=1,所以f2)=1,所以f(号）=2f2)=2 因为f(号）=f),所以f)=2f3x,z∈[0,1]， 所以()-(2)-a)-(是)-()=品() 因为写<器<号，当0≤<1时，a), 所以f(贸)≥f号)=是（贸）<f(号)=，所以f()=； 所以()贸)=2×号成 9.ABC【解析】A={x-1≤2x-1<5,x∈Z-{x0≤x<3,x∈Z={0,1,2},1∈A,A正确； {2,0,25}∩A={2,0,25}∩{0,1,2}={0,2)，B正确；A中有3个元素，C正确；A有23-1=7个真子集，D错误. 10.ABD 1山.AC【解标]时于任意的ER,都有唯一的y-生€(-，0]=B与之对应，则厂f为通数，故A正确， 当y=一1∈B=(一∞，0]时，由方程①可得x=士1，此时x不唯一，不满足函数定义，则x=g(y)不是函数，故B 错误； 数学参考答案（一中版）一1 由Λ可知y=)=-为二次函数，由二次画数性质可知其在≤0时单调选增。 故对任意，∈B=(-0,0],f)二f>0, x一C2 任给方程①的两组不同解(x1,y),(x2,y2),则y=f(),y2=f(x2), 即（一x2)(y1一y2)>0,即y1一x1y2一x2h十x2y2>0,即y1十x2y2>1y2十x2M,故C正确； 存在方程①的两组不同解(x1,为)，(x2,2),其中x1,x2∈B, 剥黄=f)-=)=后 2, f色梦）-4- (色+1中1 2 2 2 2 2 =听十十2十4+戏十+2-好十-22=一) 8 4 8 8 (a).)为两组不同的解，a≠(5）-“-☑g>0短成立， 2 8 即不春在方程①的两组不同解(ay),(a),其中∈B,使得f(色士）-士之，故D错误 2 三、填空题 12.一3【解析】m2+m一5=1，解得m=2或-3，检验知m=-3满足要求. 1827【解折】牌1日+名，而日+名-（合+号）(3a十46)=15+”+器≥15+2V丽=21，当且仅当6-2a=日 时，等号成立，所以长27.实数t的最大值为27. 14.(-4,4)【解析】数形结合，若a≤-4，则f(x)=(x一2)2与y=k最多两个交点； 若a≥4，则f(x)=|x与y=最多两个交点； 若一4<a<4,如下图，均可找到实数，使得f(x)=k在[一4,4幻上有三个实数解. y本 -.y=h --.y=k 0a12 ---y=k ---y=k 0124x -4 01a24-4 012a4 四、解答题 15.【解析水1)不等式行3≤1可化为行条0，所以(x一0x十1<0或x=4,…2分 所以A={x一1<x≤4)，由于x∈B是x∈A的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集，…3分 数学参考答案（一中版）一2 对于集合B={xx2一4x十a<0},设f(x)=x2-4x十a,其图象是开口向上的抛物线， 要满足案合A是集合B的真子集，则1)0，即 1+4+a≤0， (f(4)<0, 16-16+a<0, 解得a≤-5，…5分 所以实数a的取值范围为（一∞，一5].… …6分 (2)因为AUC=A,则CA,… …7分 当m=0时，C={xlx2-4mx+3m2<0}=0,满足C℃A; … ……8分 当m>0时，C={xm<x<3m},要使CCA,则{ m心1'解得0<m<专； 3m≤4， …12分 综上，实数m的取值花国为[一号号] …13分 16.【解析】(1)由题意可知：a≠0，且二次函数f(x)=ax2-x十2a-1图象的对称轴为直线x=2a' …1分 若a>0,则2≥2，解得0<≤}若a<0则a<0<1,特合题意。… ………5分 综上所述：实教a的取值范周（一∞，0U0,]】 …6分 (2②)因为。>0，则函数x)的图象的开口向上，且对称轴为直线2一云 若a≤1，即>≥时，则fx)在区间[1,2]上单调递增，可得ga)=f1)=3a-2: ……8分 若≥2，即0<a≤寻时，则f(x)在区间[1,2]上单调递减，可得ga)=f(2)=6a一3， …10分 若1<品<2，即<a<2时，则)在区间[1，品)上单调递减，在区间（会，2]上单调递增， 可得g=f(）=2a1.… …12分 1 3a-2,a≥2， 综上所述：g(a)=2a一a 1 1一1,4<a2’】 15分 1 6a-3,0<a≤4： 1.【解析1)由题老知下调电价后月包量为20十a, 电力帝门的收益为y=(2名04十ax-0.3)0.55≤<0.75)… …2分 当k=0.2a时，得 (28+a)x-a.302≥axa.8-0.30]1+206. …4分 0.55≤x≤0.75， 2-11x十0.3≥0解此不等式组得0.6<x≤0.5， 整理得{0.55≤x<0.75, ……6分 故电价最低定为0.6元/(kW·h)仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. …7分 2当点=0,4a时y-(e4+a)x-0,3)=a(A4十1一0.3》 …8分 令t=x-0.4,由0.55≤x≤0.75，得0.15≤t≤0.35， 因为。>0，所以y=a(②-4+1)+0.1）=a(2-g2++0.5≥a2√0+0.5)=-0.，14分 当且仅当t=0.2时取等号，即x=0.6时，收益y取最小值，最小值为0.9a.…15分 18.【解折11（方法1D若函鼓fx)的定义域内含有2=0，则f0)=0,于是0-千后从而a=1: 当a=1时，检轮：)定义城为R,加K-动-司 =一f(x),是奇函数，符合要求； ……2分（未检验扣1分） 若f(x)的定义域内不含x=0,则2°十a=0,于是a=一1； 数学参考答案（一中版）一3 当a=-1时，检验：f(0)=十。 =2-知定义城为(-∞，0)U(0,+∞)，且f(-x)= 2*+1_1+2 2x-1-1-2 =一f(x),是奇函 数，将合要求。… …4分（未检验扣1分） 综上，实数a的所有可能值是1或一1. …5分 (方法2)因函数f(x)是奇函数，故其定义域I满足：对任意x∈I,有-x∈I, 故水-到=-0，+后治 去分母整理，得到(2x-a)(2x十a)=-(2z-a)(2x十a),即1-a2=0,解得a=士l, 经检险，加)多多法均为定义城内的寺高数，从而么=士山…5分（未检险打1分》 (2)当Q>0时，知22十Q>0,故函数f(x)的定义域为R，…6分 注滚到)-君-1。调为2>0，片以0年。2脚-11-2经。 2a<1,…8分 所以fx)=22的值找为（一1,1D. 2+a …9分 （3当>0时，)-多君-1。注感到y2年。单网递减，周光)单调递增，10分 故 m=， (2m一a= 1 即 2m十a2m’ …12分 w京，+安， 1 从而关于x的方程-日宁有两个豆异实根 令t=2,则t>0,所以方程-(a-1)t十a=0有两个互异正根，… …14分 fa-1>0, 所以(a-1)2-4a>0,从而a>3+2√2. ……………………………16分 a>0, 综上，实数a的取值范围是(3十2W2,十∞).… …17分 19.【解析】1)由题g(2)=e+e“ 2一， [r+[sxr=(2+()=ce+e-2+e+e+2)- 2 故g(2x)=[f(x)]2十[g(x)门对任意实数x成立.… 0……………4分 (②自已加得P名-1-异如P的定义减方R, 任取实教，m且<，则F()-F()=e十1e+1-(e十1)(e+)' 2 2 2(e24-e2) 因为x<x2,所以0<e2<e2,所以F(x1)一F(x2)<0, 于是由，x2的任意性，知函数F(x)在R上单调递增，…6分 又F(-x)=ee=-e-e 一e+e=一C+6=一F(x,所以F()是R上的奇函数 …8分 (3)由题意知F[g(2x)]+F[2k·f(3x)-1]<0,即F[g(2x)]<F[1-2k·f(3x)],…10分 因为函数F(x)在R上单调递增， 所以82K1-2k·fx)<1-26.- 2 2 台k(e一e)(e2红+ex十1)<2(g一e),【注】K立方差公式的运用)…12分 而x∈(0，ln2),又=e-e为增函数，故t(0,是)， …13分 er-er 故两边约去e-e,得k<一2(e+er+)一2(+3) 2+) 令u=+是，t(0,2),因为u=计三在(0，w3)上单调递减，在(3，十∞)上单调递增， 所以u在(0，是)上的值城为(3，十∞），所以y= 7 、的值城为(-号，0)， …16分 2(+ 故≤ …17分 数学参考答案（一中版）一4 长沙市第一中学2025—2026学年度高一第一学期期中考试 数 学 时量：120分钟 满分:150分 得分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数 的定义域为 B.(-∞,3)∪(3,+∞) D.(3,+∞) 2.已知函数 的图象恒过定点(m,n),则m+n= A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.式子 的化简结果是 A.-2 B.2 4.函数 的大致图象为 5.设 lg 2=a, lg 3=b,则log₅6= 6.学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留 2 min,然后匀速步行 10 min返回宿舍.在这个过程中，这位同学行进的速率v(t)和行走的路程S(t)都是关于时间t的函数，则速率函数和路程函数的图象分别是下面四个图象中的 A.①② B.③④ C.①④ D.③② 7.设 则a，b，c的大小顺序是 A. c<a<b B. c<b<a C. a<c<b D. b<c<a 8.定义在[0,3]上的函数 f(x)满足 且当 时， 则 B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知集合A={x|-1≤2x-1<5,x∈Z},则下列说法正确的有 A.1∈A B.{2,0,25}∩A={2,0} C. A中有 3个元素 D. A有8个真子集 10.下列说法正确的是 A. “存在x∈R,使得2ˣ>3ˣ”的否定是“对任意x∈R,均有” B. “m<0”是“关于x 的方程 有一个正根一个负根”的充要条件 C.函数 的最小值为1 D.使得对数有意义的实数a的范围是 11.给定数集A=R,B=(-∞,0],方程①为 则 A.任给x∈A，对应关系f是方程①的解中x与y的对应，则.y=f(x)为函数 B.任给y∈B，对应关系g是方程①的解中y与x的对应，则x=g(y)为函数 C.任给方程①的两组不同解((x₁,y₁),(x₂,y₂),其中 则 D.存在方程①的两组不同解((x₁,y₁),(x₂,y₂),其中 使得 也是方程①的解 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知幂函数 在(0,+∞).上是减函数，则实数m= . 13.设a>0,b>0,且3a+4b=1,若abt≤3a+b恒成立,则实数t的最大值为 . 14.若 若存在实数k使得f(x)=k在[-4,4]上有三个实数解，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知集合 (1)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若A∪C=A,求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知二次函数 (1)若f(x)在区间[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围. (2)若a>0,,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 17.(本小题满分15分) 某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)。经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)。该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h)。记本年度电价下调后电力部门的收益为y(单位：元)，实际电价为x(单位：元/(kW·h))。 (收益=实际电量×(实际电价-成本价))。 (1)当k=0.2a时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? (2)当k=0.4a时，求收益y的最小值。 18.(本小题满分17分) 设a∈R,函数 (1)若函数 f(x)是奇函数，求实数a 的所有可能值； (2)当a>0时,求函数 f(x)的值域; (3)当a>0时,函数 f(x)在区间[m,n]上的值域是 求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 我们称函数 为双曲正弦函数，称函数 为双曲余弦函数. (1)证明: 对任意实数x成立； (2)令 判断并证明F(x)的奇偶性和单调性； (3)在(2)的情况下，对任意. 均有： f(3x)—1]<0,求实数k的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $