江西省赣州市2026-2027学年高二上学期11月期中作业数学试题（B）

2026～2027学年高二年级第一学期期中作业·数学 参考答案、提示及评分细则 1．C.故选C. 2．D 与平行的直线的方程可以设为，又直线过原点，所以，所以过原点且与平行的直线的方程为.故选D. 3．C 由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选C. 4．A 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为两圆外切，所以，即，解得. 故选A. 5．D 由渐近线的定义知，当的横坐标时，点无限接近于渐近线，故的斜率趋近于，当趋近于右顶点时，的斜率趋近于0，所以的斜率的取值范围为. 故选D. 6．B 设椭圆的方程为，由题意知，其中，令，得，所以cm，又cm，，所以cm，cm，cm，所以cm，所以四边形的面积为cm. 故选B. 7．A 令，则，即. 由题意知点的坐标既满足，又满足，所以直线与圆有公共点，所以，解得.故选A. 8．B 取的中点，易得，所以，所以，即在以为球心，为半径的球面上，过点作直线的垂线，垂足为，所以，所以，，即的取值范围是. 故选B. 9．AB 设直线的方程为，则，间的距离，解得，或，所以直线的方程为或. 故选AB. 10．BCD 由直线的截距式方程，得的方程为，即，故A错误；当取得最值时，直线与相切，故，故BC正确；当在上且到的距离为的点有3个时，圆心到的距离等于，即，所以，或，故D正确. 故选BCD. 11．BCD 由题意知的坐标为，当的斜率不存在时，的方程为，代入，得，所以，解得，所以的坐标是，故A错误；由知是的准线，设的中点为，过，，作，，，垂足分别是，，，所以，，，所以到直线的距离为，即以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；设，，的方程为，联立方程得，所以，，，因为，所以，即，所以，，，解得，所以的方程为或，故C正确；由题意知，，所以，故D正确．故选BCD． 12．关于平面对称的两点的轴，轴坐标相同，轴坐标互为相反数，所以点关于平面对称的点是． 13．设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，，易得，，，，． 14．由题知，圆的圆心为，半径为2，取的中点，连接，则，因为，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，其方程为．因为，可分别看作点，到直线的距离，所以当点，在直线同侧时，是点到直线的距离的2倍，又点到直线的距离，所以的最大值为，所以的最大值为；当点，在直线异侧时，，所以的最大值为．因为，所以的最大值为． 15．解：（1）因为，，所以的中点的坐标为， 2分 又， 4分 所以边上的中线所在的直线方程为，即． 6分 （2）因为，，所以， 8分 设边上的高所在的直线的斜率为，所以，得， 11分 所以边上的高所在的直线方程为，即． 13分 16．（1）解：由题意可得 2分 解得 5分 所以的方程为． 7分 （2）证明：设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 10分 所以，为定值． 15分 17．（1）解：联立得，解得或， 2分 所以，． 3分 因为，解得， 5分 所以的方程是． 6分 （2）证明：由（1），得，， 所以的中点为， 7分 所以直线的方程为． 8分 将代入，得，即点， 9分 设过点且与相切的直线的方程为， 与抛物线联立，得． 10分 因为，解得． 12分 所以直线的方程为，即， 13分 令，得，即． 14分 因为，所以点与点关于点对称． 15分 18．（1）解：由已知得圆的半径． 1分 所以圆的标准方程为． 3分 （2）证明：由（1）可知，， 设，则， 由题意知，直线的方程为． 4分 令，得，所以． 5分 由，得直线的方程为． 6分 令，得，所以． 7分 所以 ， 所以为定值． 9分 （3）证明：设直线的方程为，，，已知， 联立得， ，即． 10分 所以，． 11分 所以． 12分 所以． 所以． 13分 整理得，所以或． 14分 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 15分 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意． 16分 所以直线过定点． 17分 19．（1）解：设的焦距为，由，得，， 1分 由椭圆的定义可得，，所以， 又的周长为12，所以，解得． 2分 因为，所以椭圆的方程为． 3分 （2）（ⅰ）由椭圆的方程，得，， 当直线的斜率不存在时，不妨记，， 所以直线，的方程分别为，， 令，得，，所以． 4分 当直线的斜率存在时，设，，，由与轴不重合，得． 联立得， 所以， ，． 6分 直线的方程为，令，得，即， 直线的方程为，令，得，即， 所以 ， 8分 又，，， 所以． 综上所述，，即线段长度的取值范围是． 10分 （ⅱ）点在以为直径的圆内． 11分 证明：当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，， 所以，，， 所以，点在以为直径的圆内． 13分 当直线的斜率存在时，由（ⅰ）知，． 所以，． 因为 ， 16分 所以，点在以为直径的圆内． 综上所述，点在以为直径的圆内． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年高二年级第一学期期中作业 数　学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间四边形中， A． B． C． D． 2．已知直线，则过原点且与平行的直线的方程为 A． B． C． D． 3．抛物线的焦点到准线的距离为 A．6 B．4 C．3 D． 4．已知圆与圆外切，则 A．13 B．11 C．7 D．5 5．已知双曲线的左焦点为，为上在第一象限内的一点，则直线的斜率的取值范围为 A． B． C． D． 6．一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处．若是椭圆过的一条弦，且，cm，cm，则四边形的面积为 A． B． C． D． 7．若实数，满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，满足，且，间的距离为，若的方程为，则的方程为 A． B． C． D． 10．已知圆，点，，直线，为上一点，则 A．直线的方程为 B．当取得最大值时， C．当取得最小值时， D．当在上且到的距离为的点有3个，则或 11．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交于，两点，当的斜率不存在时，，则下列说法中正确的是 A．的坐标是 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．若，则的方程为或 D．是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．点关于平面对称的点是　　　　　． 13．已知，为椭圆的左、右焦点，以为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为　　　　　． 14．已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为　　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程． 16．（本小题满分15分） 已知离心率为的双曲线经过点． （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 17．（本小题满分15分） 已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点． （1）若，求的方程； （2）求证：点与点关于点对称． 18．（本小题满分17分） 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为3，求证：直线过定点． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右焦点分别是，，且，过点的直线与交于，两点，且的周长为12． （1）求椭圆的方程； （2）若与轴不重合，记的左顶点为，直线，分别与直线交于点，． （ⅰ）求线段长度的取值范围； （ⅱ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $