精品解析：江西省赣州市十三校2025～2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025-2026学年度第一学期赣州市十三校期中联考 高二年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 3. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 4. 已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为定值 D. 与平面所成角的范围是 8. 人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 抛物线关于轴对称 C. 抛物线的准线方程为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为4 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为______． 13. 平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为__________. 14. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是________ . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 16. 已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标； （2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. （1）证明：； （2）求点到平面BDE的距离； 18. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期赣州市十三校期中联考 高二年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆位置关系的判定方法，即可得到选项. 【详解】由题意知： 因为所以， 即两圆的位置关系是相交， 故选：C 3. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线平行的判定方法求解即可. 【详解】由直线与直线平行, 可得，解得或， 由于还要满足，所以舍去， 故选：A 4. 已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 5. 已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三边长与椭圆相等，先求，再利用勾股定理求出，即可得离心率. 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 6. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值. 【详解】 如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，， 设， 则（*）， 因点为的重心，则，即， 代入（*），可得， 因点在抛物线上，故，故， 依题，，解得. 故选：D. 7. 已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为定值 D. 与平面所成角的范围是 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理，证得平面，可判定A正确；当平面平面时，得到到平面的距离最大，进而求得体积的最大值，可判定B正确；由，得到三棱锥外接球的球心为，求得外接球的半径，可判定C正确；把与平面所成的角，转化为直线与平面所成的角，求得其范围，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为为正方形，可得， 又由，且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，当平面平面时，此时到平面的距离最大， 即三棱锥高的最大值为， 此时三棱锥的最大体积为，所以B正确； 对于C中，由，所以三棱锥外接球的球心为， 即外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为（定值）， 所以C正确； 对于D中，如图所示，取的中点，分别连接， 因为分别为中点，可得且， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 在折叠过程中，设的长度为，则 由为的中点，所以， 在直角中，可得， 所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为， 所以D错误. 故选：D. 8. 人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小. 【详解】由得：，，． 设，则． 所以，解得（舍去）， 所以，， ， 所以． 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 抛物线关于轴对称 C. 抛物线的准线方程为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程整理为，由，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错. 【详解】对于A，将直线转化为， 由，解得，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，当时，直线， 点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点，可得， 当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的体积计算公式即得. 【详解】因圆锥的底面半径为2、高为，则其体积为. 故答案为：. 13. 平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 14. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是________ . 【答案】## 【解析】 【分析】根据所给条件可得是的中点，利用中位线的性质可求出，再由双曲线定义求出，由直角三角中勾股定理建立方程可得离线率. 【详解】设右焦点为， ， 是的中点，是的中点， 且, 由双曲线定义可知， ，， ， 即 ， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用求圆心坐标和半径长度来写圆的标准方程； (2)利用圆心到直线的距离和勾股定理来求参数的值. 【小问1详解】 经过点和的中垂线方程为：， 与直线联立解得：， 所以圆心的坐标为，半径， 即圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由圆心到直线的距离得：， 因为直线被圆截得的弦长为，所以， 即. 16. 已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标； （2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】（1）抛物线，焦点坐标； （2） 【解析】 【分析】(1)利用抛物线的几何性质即可得到方程和焦点坐标； (2)利用弦长公式和点到直线的距离公式，就可以求面积. 【小问1详解】 由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； 【小问2详解】 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. （1）证明：； （2）求点到平面BDE的距离； 【答案】（1） 因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案. （2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 18. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【小问1详解】 设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）①设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；②存在； 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $