江西省赣州市多所重点中学联考2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆：的焦距是 A．3 B．9 C．6 D．12 2．已知直线：与：平行，则 A． B． C．2 D．3 3．“”是“方程表示圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若双曲线：（）的渐近线方程为，则 A．8 B．4 C．2 D．1 5．已知的周长为36．若顶点，分别是椭圆：（）的左、右焦点，顶点在上，则 A．20 B．28 C．24 D．22 6．如图，将圆：在直线：下方的部分沿着向上翻折至的上方，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知，，，分别为椭圆：（）的左、右、上、下顶点，为上异于顶点的任意一点．若直线，，，的斜率之积为，则的长轴长为 A．4 B．8 C．6 D．10 8．过抛物线（）的焦点作直线，直线交该抛物线于，两点（在第一象限），且，若直线的倾斜角为，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：，则 A．可以取 B．当时，的焦点在轴上 C．当时，的焦点在轴上 D．当时，的焦点在轴上 10．如图，轴，，点在线段上，且，且直线，，的倾斜角分别为，，，则 A． B． C． D． 11．已知点在圆：上．若点，分别是直线：与直线：上的动点，则 A．的最大值为12 B．的最小值为4 C．的最小值为16 D．仅存在唯一的点，使得取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线：与直线：垂直，则 ． 13．如图，某溜冰场呈椭圆形，分别以其长轴、短轴所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，坐标系中一个单位长度代表1米，得到该椭圆的标准方程为．现在该溜冰场上划定一个各个顶点均在溜冰场边界上的矩形区域，则矩形面积的最大值为 平方米． 14．设双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，．若，，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）若曲线：为双曲线，求的取值范围； （2）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，实轴长为2，且经过点，求的标准方程． 16．（15分） 已知直线：与椭圆：相交于，两点． （1）求的取值范围； （2）若，求线段的长． 17．（15分） 如图，已知抛物线：（）的焦点为，点在上，（为坐标原点），的面积为1． （1）求的方程． （2）设的准线与轴的交点为，过的直线与交于，两点，若斜率为3的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足． （ⅰ）证明：，两点的纵坐标之积为定值． （ⅱ）求在轴上的截距的取值范围． 18．（17分） 已知点，，动点满足． （1）求点的轨迹． （2）设圆：． （ⅰ）证明：圆过定点． （ⅱ）记圆的圆心的轨迹为，为上的动点，求的最大值与最小值． 19．（17分） 设抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，且线段的中点为（）． （1）当时，求的准线方程． （2）点为上一动点，过作的准线的垂线，垂足为，设过，，三点可作双曲线，且的两个焦点均在轴上． （ⅰ）若过点，求的方程； （ⅱ）求的离心率的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案 + =1 15.解：1)因为曲线C:mm-15为双曲线，所以m(m-15)<0 …4分 解得m∈(0,15) …6分 y2 x2 (2)设C的标准方程为：一2=1 (a>0,b>0),…8分 2a=2, 1630=1, 则(a262 …10分 a=1, 解得b=2 …l2分 =1 故C的标准方程为 …13分 ax-y+2=0, 16.解：(1)由( +-l得d+2r+4a+2=0 2 …3分 因为1与C相交于A,B两点，所y△=1602-8(a2+2)>0 …5分 解得a<-5或a>2,即a的取值范固为(0，-V2]U(小2，+) …7分 2x-y+2=0, (2)设1，），B(,).由2+= 得3x2+4x+1=0」 …9分 4 1 (方法一)则 …11分 所以 ,即线段 2W5 AB的长为3， …15分 (方法二)解得=-1,6= 11分 所以4=1+a-5×225 3 …15分 17.(1)解：易知 …1分 1.2p=1 因为△ODF的面积为1，所以22 。 …2分 解得卫=2， …3分 故C的方程为y=4x.…。 …4分 (2)(i)证明：由q)知E(-1,0),F(1,0) 设直线B的方程为=+1(3).Ay).B(s,)】 …5分 x=y+1, 由y2=4,消去x得2-4物-4=0， …6分 所以乃+=4t,=-4,则A,B两点的纵坐标之积为定值. 7分 y=Y(+) (i)解：直线EA的方程为，+1 …8分 1 设1的方程为3+m,G(o).H,n)】 1 x-3y+m. 。3(m+1)y 月暖。m。 3(m+1)y2 …10分 x=3y+m. 3(m-1) 设M(xww).由x=+l,得》 业3分 MN HN 因为|GNMN,所以MN=GNN, (m-12_(m+1) 则%=-m,化简得(3t-9r+8 ，…12分 (m-12_(3-12 易知m≠1，所以(m+ 292+8 …13分 2 9t2+8 ≥8 (3t-1)2 9 29 8 t=- 因为 3 (当 3时，等号成立)，…14分 (m+≥ 所以(m-1) 解得m≤-17-122或m≥-17+12V2且m≠1， 故1在x轴上的裁距的取值范用为∞，-17-12V5]U[-17+122,U1切） …15分 18.1解：设点P(x).由P4=2P8.即R+0-4=2P+0+2明 …1分 整理得r+(0y+4=16 3分 所以点P的轨迹是以点(0,4)为圆心，4为半径的圆。 …4分 (2)(1)证明：由 x-a+y-4-a=4 得r2+y2-2ar-24-a2y=0 …5分 -2x=0, -2y=0, 令r+y=0,得x=y=0, …7分 所以圆C过定点(0,0) … …8分 [润]若将x=0,y=0代入C的方程的左边，得口2+4-a2=4=右边，所以圆C过定点(0,0），不扣分. (i)解：设圆C的圆心为C(x,),则x=a,y=V4-云 …9分 所以x2+y2=4 …10分 又V4-a2≥0，所以C的轨迹方程为x+y=4(y20), …11分 则C的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含点(-2,0），(2,0).12分 如图，设点D(0,-4) 对于同-个点M,当P运动时，MP的最大值为MD+4 …13分 MD的最大值为2+D0=6,所以MP的最大值为6+4=10 …14分 对于同一个点M,当P运动时，MP的最小值为MD-4 …15分 -6-420 FD 由图可知，当点M与点(2,0)或点(-2,0)重合时，MD取得最小值，且最小值为V2+4 =2√5 ·16分 所以MP的最小值为25-4 17分 19.解，1)当P=8√7时，依题意得下的坐标为4万，0) …分 所以2的准线方程为x=-4V万 …2分 (2)(1)因为C的两个焦点均在x轴上，且C经过A,H,F,O,所以由对称性可知，C的中心 p 为线段OF的中点，即 实半轴长为4，… …4分 4 =1 设C的方程为 4 (b>0).… …5分 p H的横坐标为2，A,H均在C上，则A的横坐标为4 …6分 p 2 2p2-1 b2 设1(P）,又A在2上，所以=2p,代入C的方程，得 4 ，解得b2= 4 …8分 x-4 p P C的方程为 16 4 …9分 (ⅱ)由题知， s卫 当 2时，过A,H,F三点不能作双曲线. …10分 当 2时，线段AH中点的横坐标与F的横坐标相等，过A,H,F三点不能作双曲线， 侧方小2 3p 2且 2.… …11分 (x-h)y2 因为C的两个焦点均在x轴上，所以可设C的方程为a2 (a>0,b>0), h+ p-h=a 2 =1 -5= 将F,H,A的坐标代入C的方程，得（ ①， 63 ， b2 ③， …12分 ②-③得 -号到=E号.m h=2x。-p 4 …13分 由①得， c-g--号 -2+p-1-8n2x。p 由③得， 5么-15-=2答8m-2 a2 ,而 4,则 (3p-2x)月 ,代入 6=(3p-2x} 6=2p,得4(2x-p) …15分 e=146 2p 2=/+160-6x0P=3+ 14(2x-p)）2x-p2-p ，…16分 >号。* 3p 由02且02，得e>3且e≠4. 故C的离心率的取值范围为(5,2U(2,+o) …17分