精品解析：湖北荆州市2026～2027学年上学期学情监测九年级数学试题卷

2026~2027学年度上学期学情监测 九年级数学 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后能与自身重合，则旋转角至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定五角星图案被中心  分成的全等部分数量，利用周角定义计算． 【详解】解：五角星图案绕中心旋转后能与自身重合，  该图形是旋转对称图形，且被平分成个全等部分，  最小旋转角为 ．  3. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的对称性，找已知点的对称点即可． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， ∵图象经过点， ∴点关于y轴的对称点也在该函数图象上． 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边同时加得， 配方得． 5. 方程的两个实数根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程中，，， 则由根与系数的关系可得． 6. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规则，分步变换原顶点式即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线向右平移2个单位长度，用替换，得， 再向上平移3个单位长度，得． 7. 2026年“楚超”联赛小组赛阶段的赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），如果整个小组赛阶段共比赛136场，那么一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设有支球队参加比赛， ∵每支球队需与其余支球队各赛1场， ∴所有球队的比赛场次之和为场， ∵每两支球队之间的比赛被计入2次， ∴实际总比赛场数为， ∵小组赛共比赛136场， ∴可列方程为． 8. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察所求代数式与方程的形式关联，采用整体代入法计算，无需求解的具体值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，，两点分别在轴和轴上，轴，若的面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数的几何意义，结合三角形面积公式建立关于的方程，根据图象所在象限确定的符号． 【详解】解：设点坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∵轴，在轴上 ∴轴， ∵在轴上 ∴边上的高为 ∴ ∵ ∴，即 ∵图象在第二象限 ∴ ∴． 10. 抛物线（）的顶点是，与轴的一个交点在与两点之间，其部分图象如图所示，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线顶点坐标得出与、与的数量关系，结合开口方向及与轴交点位置判断、、的符号及相关代数式的正负． 【详解】解：由抛物线顶点为 ，设抛物线解析式为 ， 展开得，对比 ，得，， ，，故B、 D 正确； 由图象开口向下，得，  ，  抛物线与轴的一个交点在与之间，  当时，， 即， 将代入得，  ，，，  ，故 A 正确；  当 时，， 即，将，代入得，  ，  ，  ， ， ，  ，故 C 不正确． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键； 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 12. 若反比例函数的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的的值________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，因此k可取任意正数． 【详解】解：反比例函数的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小， 取（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）的关系式近似为（），则小球运动到最高处所需时间为__________ ． 【答案】 3.5 【解析】 【分析】将高度与时间的二次函数关系式化为顶点式，结合二次函数的开口方向与给定的时间取值范围，确定函数取最大值时对应的时间，即为小球到达最高处的时间． 【详解】解：对给定的关系式进行变形，化为顶点式， ∵二次项系数， ∴该函数图像开口向下，顶点位置对应函数的最大值， ∵在给定的取值范围内， ∴当时，取得最大值，即小球运动到最高处所需时间为． 14. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的容积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与容积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度为__________ ． 【答案】 1.2 【解析】 【分析】根据图象可知反比例函数经过点，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设密度与容积的函数解析式为， ∵图象经过点，  ∴，  解得，  ∴密度与容积的函数解析式为，  当时，，  ∴当时，二氧化碳的密度为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，点与原点重合，，，将绕点旋转得，边在轴上，将绕点旋转得，边在轴上，将绕点旋转得，边在轴上…，依次按这样的规律旋转，则（1）点的坐标为__________；（2）点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由勾股定理可得，结合旋转的方式得出规律计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴； 由旋转得 ∴ ∴ 由旋转得， ∴， ∴； 同理可得，，，… ∴当为偶数时， ∴点的坐标为，即． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： 这里， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 17. 已知二次函数． （1）将此二次函数的表达式化为的形式： （2）求出此二次函数图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式； （2）根据坐标轴上点的坐标特征，分别令、求解对应交点坐标． 【小问1详解】  解：对配方，得；  【小问2详解】 解：求与轴的交点： 令，代入解析式得， ∴与轴的交点坐标为； 求与轴的交点： 令，得， 因式分解得， 解得，， ∴与轴的交点坐标为，． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此得到点的坐标，描出点，再顺次连接即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再描点，连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用方程有两个不相等实数根的条件，结合判别式列不等式求解m的取值范围． （2）通过根与系数的关系表示两根和与两根积，代入已知等式求解，再结合（1）的范围取舍． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根． ∴． ∵ ， ∴． 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系得：，． ∵， ∴． 整理得． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和，与轴，轴分别相交于点，． （1）求直线和双曲线的函数解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使成立的的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可． （2）根据直线与轴，轴分别相交于点，，求出交点坐标，从而求出三角形边长，利用三角形面积公式直接计算即可． （3）求出直线与双曲线的交点坐标，观察函数图像找出时，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于点和， ∴代入和中， ∴，， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）可知直线与轴，轴分别相交于点，， ∴当时，， ∴点坐标为， ∴当时，， ∴点坐标为， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意直线与双曲线相交于点和， 当，即， 整理得， ， 或， ，， 当时，函数图像体现为直线图像在双曲线的上方， ∴或． 21. 新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”．例如：抛物线的“友好抛物线”为． （1）抛物线的“友好抛物线”的解析式为 ．“友好抛物线”的顶点坐标为 ． （2）若抛物线：（）与其“友好抛物线”的形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为，求抛物线的解析式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据“友好抛物线”的定义解答，再化为顶点式解答即可； （2）先确定原抛物线的“友好抛物线”的关系式为，再根据题意可得，然后根据题意可得抛物线的顶点纵坐标为，即，最后联立求出答案即可． 【小问1详解】 解：抛物线的“友好抛物线”为； 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意，得抛物线的“友好抛物线”的关系式为， ∵抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ∴． ∵抛物线有且只有三个点到x轴的距离是1， ∴抛物线的顶点纵坐标为． ∵， 即， 由①②可得， ∴抛物线M的关系式为． 22. 某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，那么每个月少卖件(每件售价不能高于元)，设每件商品的售价上涨元(为正整数)，每个月的销售利润为元． （1）求关于的函数解析式； （2）每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为元？ （3）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）(，且为正整数)． （2）每件商品的售价定为元时，每个月的利润为元． （3）每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是元． 【解析】 【分析】（1）利用总利润=单件利润×销售量的等量关系，结合售价上限与为正整数的条件，确定自变量取值范围并列函数解析式． （2）令，解一元二次方程，结合自变量取值范围舍去不符合的根，计算对应售价． （3）将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与自变量取值范围，确定最大利润及对应售价． 【小问1详解】 解：∵每件商品的利润为元，每月销售量为件， ∴． ∵每件售价不能高于元，为正整数， ∴，即，且． 整理得(，且为正整数)． 【小问2详解】 令，则． 整理得． 解得， ．∵， ∴不符合题意，舍去． ∴此时售价为(元)． 答：每件商品的售价定为元时，每个月的利润为元． 【小问3详解】 对函数解析式配方，得． ∵， ∴当时，取得最大值． ∵，且是正整数，符合题意， ∴的最大值为，此时售价为(元)． 答：每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是元． 23. 已知四边形为矩形，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线相交于点． （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，求的面积； （3）当点在的延长线上时，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明：四边形为矩形，绕点顺时针旋转得到矩形， ，，， ，， 在和中 ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质证明三角形全等即可； （2）连接，利用角平分线的判定定理说明，设，在中，应用勾股定理求即可解答； （3）分两种情况讨论：当的延长线交的延长线于点时，当的延长线交的延长线于点时． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ，， 平分， ， 矩形中，， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，，，， ， 解得， 即， ； 【小问3详解】 解：是以为底边的等腰三角形， ， ， ， 分两种情况： 当的延长线交的延长线于点时，如图： ，， ， 在中，， ； 当的延长线交的延长线于点时，如图： ，， ， 在中，， ； 综上可知，长为或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，交轴于点，点是抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在直线上方的抛物线上，过点作轴，垂足为，交于点，求的值； （3）若点在轴左侧抛物线上，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，设； ①求关于的函数解析式； ②若存在两个点同时满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法解答即可； （2）设点的横坐标为，用横坐标表示出各线段的长度，代入解答即可； （3）设点的坐标为，分三种情况用含的代数式表示出的长，代入解答即可；根据求得的解析式，分三部分求出函数值的取值范围，再用得到的取值范围，分三种情况，对每种情况的解进行讨论，最终求出满足要求的的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线过点，将两点坐标代入解析式得： ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令得， ． 设解析式为,代入，解得， 直线的解析式为． 点横坐标为，且在上方，因此， 设点坐标为， 点的坐标为，点的坐标为． ，， ， ． 【小问3详解】 解：点在轴左侧， ， 由题意可知：，，，， 分三种情况讨论： 当时：如图， 点在点左侧，； 此时点纵坐标小于，点在点下方， ． ． 当时：如图， 点在点右侧、轴左侧，； 此时点纵坐标小于等于，点不在点上方，， ． 当时：如图， 点在点右侧、轴左侧，； 此时点纵坐标大于，点在点上方， ， ． ． 当时，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而减小，时， 当时，． 当时，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而减小，时，时， 当时，． 当时，开口向下，对称轴为，在此区间内，当时，有最大值为 ， 时，时， 当时，． 当时，在区间有个解，在区间有个解，共个解，符合要求； 当时，在区间有个解，在区间有个解，共个解，不符合要求； 当或时，解的个数均小于，不符合要求． 因此的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度上学期学情监测 九年级数学 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后能与自身重合，则旋转角至少为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的两个实数根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 2026年“楚超”联赛小组赛阶段的赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），如果整个小组赛阶段共比赛136场，那么一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，，两点分别在轴和轴上，轴，若的面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 10. 抛物线（）的顶点是，与轴的一个交点在与两点之间，其部分图象如图所示，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ___________． 12. 若反比例函数的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的的值________． 13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）的关系式近似为（），则小球运动到最高处所需时间为__________ ． 14. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的容积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与容积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度为__________ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，点与原点重合，，，将绕点旋转得，边在轴上，将绕点旋转得，边在轴上，将绕点旋转得，边在轴上…，依次按这样的规律旋转，则（1）点的坐标为__________；（2）点的坐标为__________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知二次函数． （1）将此二次函数的表达式化为的形式： （2）求出此二次函数图象与坐标轴的交点坐标． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和，与轴，轴分别相交于点，． （1）求直线和双曲线的函数解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使成立的的取值范围． 21. 新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”．例如：抛物线的“友好抛物线”为． （1）抛物线的“友好抛物线”的解析式为 ．“友好抛物线”的顶点坐标为 ． （2）若抛物线：（）与其“友好抛物线”的形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为，求抛物线的解析式． 22. 某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，那么每个月少卖件(每件售价不能高于元)，设每件商品的售价上涨元(为正整数)，每个月的销售利润为元． （1）求关于的函数解析式； （2）每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为元？ （3）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ 23. 已知四边形为矩形，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线相交于点． （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，求的面积； （3）当点在的延长线上时，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，交轴于点，点是抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在直线上方的抛物线上，过点作轴，垂足为，交于点，求的值； （3）若点在轴左侧抛物线上，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，设； ①求关于的函数解析式； ②若存在两个点同时满足，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $