精品解析：湖北省荆州市石首市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期期中质量监测 九年级数学试题 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题后面代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一个正确，将它的代号字母填在答题卡中相应的表格里，选对一题3分，不选和选错0分，本题满分为30分） 1. 在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 判断方程根的情况是（　　） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 有两个不等实根 3. 下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ） A. B. C. D. 4. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴直线 C 函数有最小值 D. 可由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得 6. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（请将答案填在答题卡中相应的空格里，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 12. 如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为______． 14. 某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米，饲养场达到的最大面积为______平方米． 15. 如图，在中，，，，点E是边上动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为_______． 三、解答题（请将答案写在答题卡中相应的黑色矩形边框内，有9道小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，，的对应点分别为，，且，，三点在同一直线上，连接，求的度数． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 20. 如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）直接写出关于不等式的解集． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出将绕原点O按逆时针方向旋转，所得的； （2）请画出关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的周长最小，请求出点P的坐标． 22. 某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年12月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示． 每天的定价x（元/间） 208 228 268 … 每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 … （1）该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？ （2）如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？ 23. 【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 24. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），其中点B（5，0），交y轴于点C（0，5），连接 BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，将直线 BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM//y轴交DE 于点M，求 PM的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将CB绕点C逆时针旋转a（0°＜a＜90°）得到CB′，使点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线 ED上是否存在一点Q，使得以点C、 B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中质量监测 九年级数学试题 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题后面代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一个正确，将它的代号字母填在答题卡中相应的表格里，选对一题3分，不选和选错0分，本题满分为30分） 1. 在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称和轴对称，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义作答即可 【详解】A、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； B、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求； D、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； 故选：C． 2. 判断方程根的情况是（　　） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 有两个不等实根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值判断即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 3. 下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴， ∴对应方程为：； 故选B． 4. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 函数有最小值 D. 可由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得 【答案】B 【解析】 【分析】考查二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及平移的规律，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：，， ∴开口向下，故A选项不正确； 对称轴为直线，故B选项正确； 顶点坐标为，开口向下，则有最大值，故C选项错误， 由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得，故D选项错误； 故选：B． 6. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，代入各点的横坐标，求出，，的值，比较后即可得出结论. 【详解】解：当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， ， ， 故选: D． 7. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m， 由题意得：， 即， 整理得： 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程． 8. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 9. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，设，可证为等边三角形，再由角的数量关系转化求解即可． 【详解】设， 将绕点A顺时针旋转，得到， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键． 利用图象的信息与已知条件求得，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∴， ∵， ∴，故①的结论正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②的结论正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴点)关于直线对称的对称点为 ， ∴当时，随的增大而减小. ， ，故③的结论不正确； ∵抛物线的对称轴为直线：，抛物线经过点， ∴抛物线一定经过点， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标为，， ∴方程的两根为故④的结论正确； ∵直线经过点， ， ， ， ， ， ， ∴函数， ， ∴当时， 函数有最大值，故⑤的结论不正确. 综上，结论正确的有：①②④， 故选： B． 二、填空题（请将答案填在答题卡中相应的空格里，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式：根据一元二次方程根的情况求参数．因为关于的一元二次方程有实数根，则，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 12. 如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，，根据勾股定理，即可求出． 【详解】∵中，，，， ∴， ∴， ∵把绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，勾股定理的运用． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可． 【详解】抛物线与直线相交于点，， 关于的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米，饲养场达到的最大面积为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的性质，配方法，二次函数的图象与性质，熟练掌握配方法和二次函数的性质是解答本题的关键． 设饲养场（矩形）的面积为平方米，一边长为米，则饲养场另一边米，根据矩形的面积公式得到与的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设饲养场（矩形）面积为平方米，一边长为米，则饲养场另一边米， ， ， 当时，的最大值为平方米， ， 符合题意， 饲养场达到的最大面积为平方米， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，则，在上截取，连接，，，则是等边三角形，由旋转得，，则是等边三角形，可证明，得，则，所以，取的中点L，连接交于点I，连接，，则，所以垂直平分，则，，求得，，进而求得，由，得，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， 在上截取，连接，，，则是等边三角形，， ∴，， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点H且与直线所夹的锐角为的直线上运动，， ∴， 取的中点L，连接交于点I，连接，，则， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（请将答案写在答题卡中相应的黑色矩形边框内，有9道小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，把右边的项移到左边，把方程化成一般形式求出方程的根． 【详解】解：方程化为一般形式为， ， ∴ ， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，先化简分式，再解一元二次方程，利用分式有意义的条件得出满足题意的的值，最后代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， 解得 ，， 由题可知：且， ∴当时，原式． 18. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，，的对应点分别为，，且，，三点在同一直线上，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，由已知直接可得旋转中心为点，旋转的度数为，而，，即得，由此可求出的度数．解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵等腰直角的三角板在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴旋转中心为点，，，， ∴旋转的度数为：， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的度数为． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1）见解析 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程总有实数根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 20. 如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）直接写出关于不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过，可得，求出b可得直线解析式，从而可得B，再代入二次函数的解析式，最后令，从而求得A的坐标； （2）依据题意，由，从而，则关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围，最后结合图象，即可判断得解． 【小问1详解】 直线经过， ∴， ， 直线， 令，则， ∴直线与轴交点． 抛物线经过， ， ∴， 抛物线解析式：， 令， 解得， ． 【小问2详解】 由题意，∵， ∴， ∴关于x不等式的解集与不等式的解集相同． ∴关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围． ∴结合图象可得，或． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出将绕原点O按逆时针方向旋转，所得的； （2）请画出关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的周长最小，请求出点P的坐标． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析 （3）点P的坐标 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别作出A，B，C 的对应点即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求 【小问3详解】 解：如图，取点A关于x轴的对称点，交x轴于点P， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， ∴点P坐标为． 22. 某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年12月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示． 每天的定价x（元/间） 208 228 268 … 每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 … （1）该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？ （2）如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？ 【答案】（1）168元/间 （2）256或260元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出解析式，利用待定系数法求出对应的解析式，再求出当y的值为0时，x的值即可得到答案； （2）设出利润，然后列出利润关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完． 【小问2详解】 解：设每天的利润为W元， 根据题意，得： ， ∵， ∴时，W有最大值， ∵当时，，不是整数，当或时，y是整数， ∴当或时，W取得最大值． 答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润． 23. 【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；拓展创新： 【解析】 【分析】问题背景∶由判定，由全等三角形的性质即可得证； 尝试应用：延长至，使得，连接，，由判定，由全等三角形的性质得，，再由 判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质即可求解； 拓展创新：连接并延长至，使，连接、，过作交于，由直角三角形的特征及勾股定理得，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】问题背景∶ ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ； 尝试应用：延长至点，使得，连接，， ，， ， 边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 拓展创新：如图，连接并延长至，使，连接、，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F，G分别为，的中点， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能根据题意添加适当的辅助线构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 24. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），其中点B（5，0），交y轴于点C（0，5），连接 BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，将直线 BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM//y轴交DE 于点M，求 PM的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将CB绕点C逆时针旋转a（0°＜a＜90°）得到CB′，使点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线 ED上是否存在一点Q，使得以点C、 B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最大值为，；（3）存在，或或或（12，﹣1）． 【解析】 【分析】（1）把点B（5，0），点C（0，5）代入，用待定系数法即可得答案； （2）求出平移后的直线解析式，再设设P（m，m2﹣6m+5），则M（m，﹣m+11）， 表示出PM长度即可依据二次函数的性质得到答案； （3）求出B′坐标，设F、Q坐标，用平行四边形两条对角线的中点重合分类列方程即可得答案． 【详解】解：（1）将B（5，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式是y＝x2﹣6x+5； （2）设BC解析式为y＝kx+b，将B（5，0）、C（0，5）代入得： ，解得， ∴BC解析式为y＝﹣x+5， 将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点， ∴DE解析式为y＝﹣x+11， 设P（m，m2﹣6m+5），则M（m，﹣m+11）， ∴PM＝（﹣m+11）﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m+6， 当m＝＝时，PM最大为：﹣（）2+5×+6＝， 此时P（，﹣）， ∴PM最大值为，P点坐标为（，﹣）； （3）∵将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上， ∴CB＝CB′， 而B（5，0）、C（0，5）， 设B′（a，﹣a+11），则（5﹣0）2+（0﹣5）2＝（a﹣0）2+（﹣a+11﹣5）2， 解得a＝7或a＝﹣1（此时旋转角大于90°舍去）， ∴B′（7，4）， 点F是抛物线上的动点，Q在直线ED上，设F（b，b2﹣6b+5），Q（c，﹣c+11）， 以点C、B′、F、Q为顶点四边形为平行四边形，分三种情况： ①CB′、FQ为对角线，CB′中点为（，），FQ中点为（，）， CB′中点与FQ中点重合， ∴，解得（此时F与C重合舍去）或， ∴Q（2，9）， ②CF、B′Q为对角线，同理可得， 解得或， ∴Q（，）或（，）， ③CQ、BF对角线，则， 解得：（此时F与C重合舍去）或， ∴Q（12，﹣1）， 总上所述，以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，Q（2，9）或（，）或（，）或（12，﹣1）． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，难度较大，设相关点坐标，表示出线段长度，再根据已知列方程是解题的重点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $