精品解析：黑龙江省鸡西市第一中学校2026-2027学年高一第一学期期中考试数学试卷

2026－2027年度第一学期 鸡西市第一中学期中考试数学试卷 高一学年第一学期期中考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. 不存在 B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 不等式的解集是 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，.则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为________. 13. 不等式的解集为______． 14. 关于的不等式解集中恰好有两个整数，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求的值； （2）求的值； （3）设，求的值. 16. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 17. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）若定义域为，解不等式． 18. 已知函数的定义域为，，且当时，. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）解不等式：； （3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027年度第一学期 鸡西市第一中学期中考试数学试卷 高一学年第一学期期中考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. 不存在 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可直接得答案. 【详解】命题“”的否定为“” ， 故选：B. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由或即可判断. 【详解】因为或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数、反比例函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数为偶函数，不满足题意； 对于B，函数是奇函数，且单调递增，满足题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，不满足题意； 对于D，函数为奇函数，但在定义域上不单调，不满足题意. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合、，利用交集运算即可求解. 【详解】由得， 由得，所以. 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性，结合函数值即可作出判断. 【详解】由，且定义域为，所以是偶函数， 即图象关于轴对称，故排除AC， 因为，所以排除A，则D正确. 故选：D 6. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 7. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确. 【详解】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD 10. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 11. 已知函数，.则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义即可判断奇函数，利用分离常数及已知函数单调性结合复合函数思想即可判断B选项和C选项，利用特殊值即可验证D选项． 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B选项，由， 令，则，， 因为，所以，，，则， 所以的值域为，故B正确； 对于C选项，由选项B的分析可知， 由是在上的增函数，由复合函数的单调性可得是在上单调递增，故C正确； 对于D选项，因为若，不妨令，，则，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数的图像关于点中心对称，则有序数对为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的定义可得，代入运算求解即可. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 则，即， 整理可得， 结合的任意性可知，可得， 所以有序数对为. 13. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，化分式为整式结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由可得，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 关于的不等式解集中恰好有两个整数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先由得到或，再分两种情况分析两个整数解的取值即可求解． 【详解】设， 由于不等式有解，故，即或， 若，则，故不等式的其中一个整数解为， 若另一个整数解为，则，即， 此时，这与不等式只有两个整数解矛盾， 因此另一个整数解只能为， 所以，解得， 若，则，故不等式的其中一个整数解为， 若另一个整数解为，则，即， 此时，这与不等式只有两个整数解矛盾， 因此另一个整数解只能为， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求的值； （2）求的值； （3）设，求的值. 【答案】 （1）.（2）.（3）. 【解析】 【详解】（1）； （2）； （3）由得   则  16. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【解析】 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）， 当且仅当时，即取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元. （2） 又，∴当时，. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 17. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）若定义域为，解不等式． 【答案】（1）奇函数，证明如下： 定义域为， 又， 为奇函数； （2）增函数，证明如下： 任取，则 ， ，即，，， ∴ ，， ， 即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）判断函数的奇偶性只要用定义的方法即可； （2）用定义法，作差即可； （3）解函数不等式，必须要用函数的基本性质即单调性和奇偶性. 【小问1详解】 函数为奇函数．证明略； 【小问2详解】 函数在为单调增函数．证明略； 【小问3详解】 由（1）、（2）可得， 则，解得：， 所以，原不等式的解集为. 18. 已知函数的定义域为，，且当时，. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）解不等式：； （3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 令，则， 解得. 令，则， 即， 又的定义域关于原点对称，所以为奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可； （2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可； （3）根据题意知，即，分类讨论求得，解出不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 则， 因为，所以，， 则， 因为， 所以. 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 因为，所以在为减函数. 因为，所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，， 使得成立， 所以，由上可知，即. 因为的对称轴为，. ①当，即时，在上单调递增， 则，所以，解得，所以； ②当，即时，在上单调递减， 则， 所以，解得，所以； ③当时，在上先减再增， 则，所以， 解得或，所以； 综上所述，实数b的取值范围是. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； （2） （3）存在，当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $