精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学2026-2027学年度上学期高一期中考试数学试题

哈三中2026—2027学年度上学期 高一学年期中考试 数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【详解】 ,所以集合 的子集个数为 . 2. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由函数为幂函数，，或， 又函数的图象关于y轴对称，为偶数，. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域要求求解结果； 【详解】由题意，要使函数有意义，，解得且， 所以函数的定义域为； 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质及举反例一一判定即可. 【详解】对于A，若，，因为，的符号不确定且不等于， 所以的符号不定，A错误； 对于B，若，则，因为，的符号不确定， 所以的符号不确定，B错误； 对于C，若，， 因为，所以，即，C正确； 对于D，若且满足且， 此时，即，D错误； 5. 若函数满足是偶函数，且在上单调递增，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是偶函数得关于对称，转化，再用增函数性质比大小. 【详解】由是偶函数：， 所以. 已知在单调递增，，，即. 6. 下列函数中，值域为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数形式，分别运用基本不等式法、二次函数法、分离常数法及换元法逐项求解函数值域，即可判断. 【详解】对于A选项，因为，根据基本不等式，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为，故选项A错误； 对于B选项，， 当时，，故选项B错误； 对于C选项，， 根据反比例函数的图象性质，可得在上单调递减， 所以函数的值域为，故选项C错误； 对于D选项，设，则，又，所以， 所以可得， 因为，所以， 即函数在上的值域是，故选项D正确. 7. 已知函数，且，（），，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出函数在上单调递增，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果. 【详解】由任意，都有，可知在上单调递增， 则，解得， 故实数a的取值范围为 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，又，令，，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，可得，即， 令，，因为，所以，，， 则， 根据基本不等式可得，即， 当且仅当，即，， 即，时，等号成立，因此的最小值为. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. （） D. （） 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】选项A：，A正确； 选项B：，B错误； 选项C：，，当，时，，C错误； 选项D：，D正确； 10. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于的不等式的解集为 B. 若，则关于的不等式的解集为 C. 若，则关于的不等式的解集也为 D. 若集合非空且，且关于的方程的解为，，则有成立 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：一元二次不等式的解集是， 故且是方程的两根， 所以，解得，， 故不等式可化为， 因为，故，解得，故解集为，正确. 选项B：因为的解集是， 故且是方程的两根， 所以，解得，， 代入不等式中，化简得， 因为，二次函数开口向下，故解集不可能为，错误. 选项C：设，则，，， 当，则与符号相同，不等式与同解，解集为， 当，则与符号相反，不等式等价于 解集与原不等式解集不同，错误. 选项D：因为，故，且是方程的两根， 故，解得，，令， 则，方程转化为， 所以，因为，两边同时除以得， 解方程得或，对应到或， 设，由，，而，故等号不可取，故. 又，故， 因为，，当，则，则,故正确. 11. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的不动点一定是该函数的稳定点 B. 函数的不动点是2和 C. 若（）的两个不动点为，，且满足关系式，则当时，实数的最小值为6 D. 若，恰好有两个不相等的稳定点，，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不动点和稳定点的定义判断A；利用不动点的定义列方程，解方程即可判断B；由题意得到，进而得到，利用基本不等式求解可判断C；利用不动点的定义把问题转化成方程有两个不同的根，分类讨论求解可判断D. 【详解】对于A，若为函数的不动点，则， 所以， 故函数的不动点一定是该函数的稳定点，故A正确； 对于B，令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求．故函数的不动点为和3，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，实数的最小值为6，故C正确； 对于D，令，得， 即， 得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解． ①当，即时，方程化为． 仅有一个实数解，不满足题意： ②当时，此时，要使稳定点恰好为两个，则方程的实根集合必须是的子集， 故该方程或者无实根，或者其根（含重根）为或． 故或或， 解得或． 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，则函数的定义域为， 令，则函数是由函数复合而成的， 的单调减区间为， 由复合函数的单调性知，函数的单调递增区间是． 13. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解 【详解】时，，是奇函数， 此时 故答案为： 14. 若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，分和两种情况，根据一元二次不等式解法结合题意列不等式计算求解即可. 【详解】由题意可得，得， 不等式可化为， 当时，，此时不等式解为， 因为，要有四个整数解，只能是， 所以，解得； 当时，，此时不等式解为， 因为，要有四个整数解，只能是， 所以，解得； 综上：实数m的取值范围是. 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，，已知，． （1）若，求； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式求得集合，代入求得集合，由集合的交并补混合运算求得答案； （2）由题意得到集合的关系，然后建立不等式组，求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，即，所以， 当时，， 所以， 所以 【小问2详解】 由题知，是的真子集，所以，且等号不同时成立， 解得的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求证：为奇函数； （2）直接写出函数在定义域上的单调性（无需证明），并解关于a的不等式：． 【答案】（1）因为，解得，则定义域为，且， 对于，可得， 得到，则为奇函数. （2）函数在上单调递增，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）求函数定义域，由定义法得证； （2）结合函数的单调性和奇偶性整理不等式得到不等式组，解得a的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，函数，当时，函数，且， 当时，可得， 因为函数在单调递减，所以函数在上单调递增， 因为函数是奇函数，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递增，整理不等式得， 因为，所以， 则，解得，故不等式的解集为. 17. 某新能源零部件工厂生产汽车配件，每月需要投入固定成本14万元，每加工x万件该配件，需另投入成本万元，根据以往的经验可知．已知该配件每件售价为10元，且该工厂每月生产的这种配件能全部售完． （1）写出该工厂生产这种配件的月利润y（单位：万元）关于月产量x（单位：万件）的函数关系式； （2）当该工厂每月生产这种配件的月利润为正数时，求该工厂每月生产该配件数量x的取值范围； （3）求该工厂生产这种配件月利润的最大值．（总利润=总收入-总成本） 【答案】（1） （2） （3）万件时，月利润最大，为18万元． 【解析】 【小问1详解】 当时，； 当时，. 故. 【小问2详解】 由题意可得或， 解得或，即所求x的取值范围为. 【小问3详解】 当时，月利润为， 则在上单调递增， 故时，. 当时，， 当且仅当，即时等号成立，即时，. 因为，所以当月产量为10万件时，该工厂生产这种配件月利润取得最大值，最大值为18万元. 18. 已知函数，，（，） （1）解关于x的不等式； （2）当时，，恒有，求的值； （3）当时，，，使，求t的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）2； （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式变为，分，，，，讨论求解； （2）由（1），时，当或时，，当时，，可得零点为与1，结合韦达定理求解； （3）问题转化为，，可得，运算得解. 【小问1详解】 不等式为，即， 当时，不等式化为，解得，不等式的解集为； 当时，对应方程的根为和， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，，， 由（1），时，当或时，，当时，， 所以当或时，，当时，， 则零点为与1， 令，即，则， 故. 【小问3详解】 当时，，当时，， 则时，， 则，，即， 即， 因为，则当时，， 所以t的取值范围为. 19. 函数对于定义域内任意的，恒有． （1）求； （2）当时，． （ⅰ）判断函数的单调性并证明； （ⅱ）函数，．求的最小值． 【答案】（1），或， （2）（ⅰ）∵，∴，∴，，∴，. 设， ，，且， ∵，∴，，， ∴，∴，∴是上减函数， ∴是上减函数． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）代入条件列式化简，解出，回代得到. （2）(i) 由锁定，先写出；用定义法，先判断内层分式单调性，再结合根式单调性，得到单调递减； （ⅱ）换元，令，求出，转化为二次函数在闭区间上的最值；算对称轴，按对称轴落在区间左侧、区间内部、区间右侧分类讨论，写出最小值. 【小问1详解】 ∵，∴，∴， 当时，，， 当时，，. 【小问2详解】 （ⅱ）∵，∴，设，∴， ∴， 当时，，∴ 当时，对称轴为 当即时， 当即时， 当即时， 当时，对称轴为， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026—2027学年度上学期 高一学年期中考试 数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 5. 若函数满足是偶函数，且在上单调递增，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，值域为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数，且，（），，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. （） D. （） 10. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于的不等式的解集为 B. 若，则关于的不等式的解集为 C. 若，则关于的不等式的解集也为 D. 若集合非空且，且关于的方程的解为，，则有成立 11. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的不动点一定是该函数的稳定点 B. 函数的不动点是2和 C. 若（）的两个不动点为，，且满足关系式，则当时，实数的最小值为6 D. 若，恰好有两个不相等的稳定点，，则实数a的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 函数的单调递增区间是__________． 13. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______． 14. 若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，，已知，． （1）若，求； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16. 已知函数． （1）求证：为奇函数； （2）直接写出函数在定义域上的单调性（无需证明），并解关于a的不等式：． 17. 某新能源零部件工厂生产汽车配件，每月需要投入固定成本14万元，每加工x万件该配件，需另投入成本万元，根据以往的经验可知．已知该配件每件售价为10元，且该工厂每月生产的这种配件能全部售完． （1）写出该工厂生产这种配件的月利润y（单位：万元）关于月产量x（单位：万件）的函数关系式； （2）当该工厂每月生产这种配件的月利润为正数时，求该工厂每月生产该配件数量x的取值范围； （3）求该工厂生产这种配件月利润的最大值．（总利润=总收入-总成本） 18. 已知函数，，（，） （1）解关于x的不等式； （2）当时，，恒有，求的值； （3）当时，，，使，求t的取值范围． 19. 函数对于定义域内任意的，恒有． （1）求； （2）当时，． （ⅰ）判断函数的单调性并证明； （ⅱ）函数，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $